Question

Cho S = 2^{1 +} 2² + 2³ + ...  + 2¹⁰⁰

^1/ Thu gọn S 

2/ Tìm chữ số tận cùng của S 

3/ Chứng minh S chia hết cho 3 và chia hết cho 5 

Answer 1

S = \(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

2S = \(2^2+2^3+...+2^{101}\)

2S - S = \(2^{101}-1\)

S = \(2^{101}-1\)

Vì \(101\) chia \(4\) dư \(1\) có dạng \(4k+1\) nên \(2^{101}\)có tận cùng là \(2\) . Mà S = \(2^{101}-1\)nên S có tận cùng là \(1\)

S = \(2+2^2+2^3+...+2^{100}\)

S = \(\left(2+2^2+2^3+2^4\right)+\left(2^5+2^6+2^7+2^8\right)+...+\left(2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

S = \(2\left(1+2+2^2+2^3\right)+2^5\left(1+2+2^2+2^3\right)+...+2^{97}\left(1+2+2^2+2^3\right)\)

S = \(3.5.\left(2+2^5+...+2^{97}\right)\)chia hết cho \(3\) và\(5\)