Question

Cho \(P\left(x\right)=x^3-a^2x+2016b\left(a,b\inℤ\right)\) và a không chia hết cho 3

Chứng minh \(p\left(x\right)⋮3,\forall x\inℤ\)

Answer 1

p(x) = x³ - a²x + 2016b = x(x-a)(x+a) + 2016b

* a = 3k+1: p(x) = x(x-1-3k)(x+1+3k) + 2016b
Trong 3 số x - 1; x; x + 1 tồn tại một số chia hết cho 3
. x - 1 chia hết cho 3 => x-1-3k chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3
. x chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3
. x + 1 chia hết cho 3 => x+1+3k chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3

 * a = 3k-1: p(x) = x(x-3k+1)(x+3k-1) + 2016b
Trong 3 số x - 1; x; x + 1 tồn tại một số chia hết cho 3
. x - 1 chia hết cho 3 => x-1+3k chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3
. x chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3
. x + 1 chia hết cho 3 => x+1-3k chia hết cho 3 => p(x) chia hết cho 3

Vậy với mọi a; b thuộc Z; a không chia hết cho 3 thì p(x) chia hết cho 3 với mọi x thuộc Z