\(\Delta'=b'^2-ac=-6m+7=>\)\(m\ge\frac{7}{6}\)
Theo Vi-ét : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-2\right)\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)Mà \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}=>\)\(\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
=> \(x_1.x_2=5\)<=> \(m^2+2m-3=5\)<=> \(m^2+2m-8=0\)
Giải pt trên ta đc : \(\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-4\end{cases}}\)Mà \(m\ge\frac{7}{6}\)=> \(m=2\)
\(x^2-2\left(m-2\right)x+\left(m^2+2m-3\right)=0\) \(\left(#\right)\)
từ pt \(\left(#\right)\) ta có \(\Delta'=\left[-\left(m-2\right)\right]^2-m^2-2m+3\)
\(\Delta'=m^2-4m+4-m^2-2m+3\)
\(\Delta'=-6m+7\)
để pt \(\left(#\right)\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thì \(\Delta'>0\)
\(\Leftrightarrow-6m+7>0\)
\(\Leftrightarrow-6m>-7\)
\(\Leftrightarrow m< \frac{7}{6}\)
theo định lí vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m-4\\x_1.x_2=m^2+2m-3\end{cases}}\)
theo bài ra ta có \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
\(\frac{x_2+x_1}{x_1.x_2}=\frac{x_1+x_2}{5}\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).5=\left(x_1.x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).5-\left(x_1.x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right).\left(5-x_1.x_2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left(5-m^2-2m+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-4\right)\left(m^2+2m-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2m-4=0\left(1\right)\\m^2+2m-8=0\left(2\right)\end{cases}}\)
từ \(\left(1\right)\) ta có \(m=2\) ( KTM )
từ \(\left(2\right)\) ta có \(m^2+2m-8=0\) \(\left(3\right)\)
từ pt \(\left(3\right)\) ta có \(\Delta'=1^2-\left(-8\right)=1+8=9>0\Rightarrow\sqrt{\Delta'}=3\)
vì \(\Delta'>0\) nên pt \(\left(3\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(m_1=-2+3=1\) ; ( TM )
\(m_2=-2-3=-5\) ( TM )
vậy \(m_1=-5;m_2=1\) là các giá trị cần tìm
khúc giải \(\Delta'\)Despacito nhầm rồi, \(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=-1+3=2\\x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=-1-3=4\end{cases}}\)
