Question

Cho phương trình: x²-2(m+1)x+2m-2=0 với x là ẩn số.

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂, tính theo m giá trị của E=x₁²+2(m+1)x₂+2m-2

Answer 1

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-2\right)=m^2+3>0\) với mọi m

\(\Leftrightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Theo hệ thức Vi - et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow E=x_1^2+2\left(m+1\right)x_2+2m-2=x^2_1+\left(x_1+x_2\right)x_2+x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow E=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2=\left(2\left(m+1\right)\right)^2\)

\(\Leftrightarrow E=4m^2+8m+4\)

Answer 2

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-2\right)=m^2+3>0\)

\(\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Áp dụng đl Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m-2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow E=x_1^2+2\left(m+1\right)x_2+2m-2=x^2_1+\left(x_1+x_2\right)x_2+x_1x_2\)

\(\Rightarrow E=x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2=\left(2\left(m+1\right)\right)^2\)

\(\Rightarrow E=4m^2+8m+4\)