Cho phương trình $x^{2}-2(m+1) x-m^{2}-3=0\left(^{*}\right)$, với $m$ là tham số.
a. Giải phương trình $\left(^{*}\right)$ khi $m=0$.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $\left.*^{*}\right)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn $\left(x_{1}+x_{2}-6\right)^{2}\left(x_{2}-2 x_{1}\right)=\left(x_{1} x_{2}+7\right)^{2}\left(x_{1}-2 x_{2}\right)$.
Rút gọn biểu thức $B=\left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right): \dfrac{x+1}{x-1}$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$.
Cho hai hàm số $y=-x^{2}$ và $y=2 x-3$.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm $A$ và $B$ của hai đồ thị đó. Tính diện tích tam giác $O A B$, với $O$ là gốc tọa độ và đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét.
Cho tam giác $A B C$ có ba góc nhọn và $A B<A C$. Vẽ các đường cao $A D, B E, C F$ của tam giác đó. Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao vừa vẽ.
a) Chứng minh rằng các tứ giác $A E H F$ và $B F E C$ nội tiếp.
b) Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $A H, B C$. Chứng minh rằng $F M . F C=F N \cdot F A$.
c) Gọi $P, Q$ lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ $M, N$ đến đường thẳng $D F$. Chứng minh rằng đường tròn đường kính $P Q$ đi qua giao điểm của $F E$ và $M N$.
