Question

Cho phương trình \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)=m\)có 4 nghiệm phân biệt.
Chứng minh: \(x1\cdot x2\cdot x3\cdot x4=24-m\)

Answer 1

\(pt\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=m\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)^2+10\left(x^2+5x\right)+24-m=0\)

Phương trình trên là một phương trình bậc 4, mà lại có 4 nghiệm, nên nếu xem nó là một phương trình bậc 2 theo ẩn \(t=x^2+5x\); \(t^2+10t+24-m=0\), thì phương trình này phải có 2 nghiệm \(t_1;t_2\) sao cho mỗi phương trình 

\(x^2+5x=t_1;\text{ }x^2+5x=t_2\)đều có 2 nghiệm phân biệt, lần lượt là \(x_1;\text{ }x_2;\text{ }x_3;\text{ }x_4\)

\(x^2+5x-t_1=0\Rightarrow x_1.x_2=-t_1\)

\(x^2+5x-t_2=0\Rightarrow x_3.x_4=-t_2\)

\(t^2+10t+24-m=0\Rightarrow t_1.t_2=24-m\)

\(\Rightarrow x_1.x_2.x_3.x_4=24-m\)

Answer 2

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2;x_3;x_4\)thì phương trình đó viết được dưới dạng \(\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\left(x-x_3\right)\left(x-x_4\right)=0\)(1)

Phương trình (1) có hệ số tự do là \(x_1x_2x_3x_4\)= hệ số tự do của phương trình đề bài = 24-m (ĐPCM).