Question

cho phương trình ax+by=ab (a,b là STN khác 0; (a,b)=1
Phương trình trên có nghiệm nguyên dương hay không?

Answer 1

Lời giải:

Giả sử pt có nghiệm $(x,y)$ nguyên dương.

$ax+by=ab\vdots a$

$\Rightarrow by\vdots a$. Mà $(a,b)=1$ nên $y\vdots a$

$ax+by=ab\vdots b\Rightarrow ax\vdots b\Rightarrow x\vdots b$

Đặt $y=am, x=bn$ với $m,n$ nguyên.

Vì $x,y$ nguyên dương, $a,b$ lại là stn khác 0 nên $m,n$ nguyên dương.

Khi đó: $ab=ax+by=abn+bam=ab(m+n)$

$\Rightarrow 1=m+n$ 

Vì $m,n$ nguyên dương nên $m+n\geq 2$. Do đó việc $m+n=1$ vô lý.

Vậy điều giả sử là sai. Tức là không tồn tại $x,y$ nguyên dương.

Answer 2

có