Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Siêu Nhân Lê

Cho P=\(1^{2017}+2^{2017}+3^{2017}+...+2016^{2017}\), Q= 1+2+3+4+...+2016.  Chứng minh  P chia hết cho Q

Bùi Thị Vân
17 tháng 10 2016 lúc 8:33

Cô sẽ áp dụng đồng dư để chứng minh, Tuấn có thể trình bày cách của em để mọi người tìm hiểu.
\(Q=\frac{\left(2016+1\right)2016}{2}=2017.3^2.2^4.7\).
ÁP dụng định lý Fermat nhỏ: \(a^{p-1}=1\left(modp\right)\). Nhận xét rằng 2017 là số nguyên tố vì vậy
\(\left(n,2017\right)=1,\)với mọi n  = 1, 2, ..., 2016.
Do đó \(n^{2016}=1\left(mod2017\right),n=1,....,2016\).
Vì vậy: \(n^{2017}=n\left(mod2017\right),n=1,2,...,2017\).
Suy ra: \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=1+2+...+2016\left(mod2017\right)\)
                                                                        \(=2017.1008\left(mod2017\right)\)\(=0\left(mod2017\right)\)
Vì vậy \(1^{2016}+2^{2016}+....+2016^{2016}=0\left(mod2017\right)\).
Ta sẽ chứng minh P chia hết cho \(2^4\) .
Nhận xét rằng \(n=2k\left(k\in N\right),n=\left(2k\right)^{2017}=0\left(mod2^4\right)\).
Xét những hạng tử không chia hết cho 2 là 1, 3, 5, ....., 2015.
Áp dụng định lý Euler : \(a^{\varphi\left(n\right)}=1\left(modn\right),\left(a,n\right)=1\).
Do n = 1, 3, 5, ...., 2015 thì \(\left(n,2^4\right)=1\)( Ước chung lớn nhất bằng 1) , \(\varphi\left(16\right)=8\) nên :
\(n^{2017}=n^{8.252+1}=n\left(n^8\right)^{252}=n\left(mod2^4\right)\)( Do \(n^8=1\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy : \(1^{2017}+3^{2017}+...+2015^{2017}=1+3+...2015\left(mod2^4\right)\)
                                                                       \(=2016.504\left(mod2^4\right)\)
                                                                        \(=0\left(mod2^4\right)\).
Vì vậy \(1^{2017}+2^{2017}+.....+2016^{2017}=0\left(mod2^4\right)\)
Những số còn lại là \(3^2,7\)ta chứng minh tương tự.
 

Tuấn
16 tháng 10 2016 lúc 22:25

\(a^n+b^n\) chia hết cho a+b với n lẻ 
áp dụng cái trên là đc nhé bạn 

Nguyễn Ngọc Hải Dương
17 tháng 10 2016 lúc 11:19

mik mới học lớp 7

Harry James Potter
18 tháng 10 2016 lúc 7:56

Có P = 1\(^{2017}\)+ 2\(^{2017}\)+ ... + 2016\(^{2017}\); Q = 1 + 2 + 3 +... +2016 

Áp dụng tính chất : a\(^n\)+ b\(^n\)chia hết cho a + b với n lẻ ( tương tự với tính chất của bạn Tuấn ), ta có:

            1\(^{2017}\)+ 2\(^{2017}\)+ 3\(^{2017}\)+ ....... + 2016\(^{2017}\) chia hết cho 1 + 2 + 3 +......+ 2016

Suy ra : P chia hết cho Q ( đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Tử Lớp Học
Xem chi tiết
Tôi Là Ai
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Phương
Xem chi tiết
Nguyen Hai Thanh
Xem chi tiết
Hoàng Tử Lớp Học
Xem chi tiết
Nguyen Nguyen
Xem chi tiết
TRẦN THỊ DIỆU QUỲNH
Xem chi tiết
Đức Nguyễn O
Xem chi tiết
Nguyễn Thắng Phúc
Xem chi tiết