Question

Cho p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (p^2- q^2) chia hết cho 24 

Answer 1

tham khảo https://olm.vn/hoi-dap/detail/109995389.html

Answer 2

a) Số nguyên tố lớn hơn 3 thì không chia hết cho 8, 4 và cho 2. Một số chia cho 8 dư 0, 1, 2,3, 4, 5, 6,7 => Nếu số là nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 8 phải dư 1 hoặc 3 hoặc 5 hoặc 7 (vì nếu số đó chia 8 dư 2 thì nó viết dạng 8k + 2 chia hết cho 2, tương tự vậy không thể chia cho 8 dư 4 và dư 6)=> Số nguyên tố bình phương lên chia cho 8 dư 1 (vì 1² chia 8 dư 1, 3² =9 chia 8 dư 1, 5² =25 chia 8 dư 1, 7² = 49 chia 8 dư 1).

Vậy cả p² và q² chia 8 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 8 (vì trừ cho nhau phần dư sẽ triệt tiêu).

Tương tự vậy, số nguyên tố lớn hơn 3 thì khi chia cho 3 phải dư 1 hoặc dư 2 => Bình phương số đó khi chia cho 3 dư 1 ( vì 1² = 1 chia 3 dư 1; 2² =4 chia 3 dư 1) => p² và q² chia cho 3 đều dư 1 => Hiệu p² - q² chia hết cho 3 (phần dư 1 sẽ triệt tiêu đối với phép trừ)

=> p² - q² chia hết cho cả 8 và 3, mà 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau => p² - q² chia hết cho 8x3 =24

Answer 3

Đầu tiên ta chứng minh p^2-1 chia hết 24.                                                            +) Ta có p là snt lớn hơn 3 nên p lẻ:                                                                 =>p^2-1=(p-1)(p+1) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên p^2-1 chia hết cho 8.  (1)  +) Ta có p là snt lớn hơn 3 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.                               Với p=3k+1 => p^2-1=3.k.(3k+2) chia hết cho 3.                  (2)                           Với p=3k+2 => p^2-1=(3k+1).3.(k+1) chia hết cho 3.            (3).                        Lại có (3;8)=1 nên từ (1),(2),(3) suy ra p^2-1 chia hết cho 24.                              Tương tự với q^2-1 chia hết cho 24.                                                                      Vậy p^2-q^2=(p^2-1)-(q^2-1) chia hết cho 24