Question

Cho p là số nguyên tố  và 1 trong 2 số 8p + 1 và 8p - 1 là số nguyên tố . 

Hỏi số còn lại là số nguyên tố  hay hợp số

Ai nhanh và đúng thì tick nha

^{_{Hãy ngại trả lời}}

Answer 1

Giải thích các bước giải:

Với pp nguyên tố và một trong hai số 8p+1,8p−18p+1,8p−1 là số nguyên tố thì số thứ ba là một hợp số. Thật vậy:

+) Với pp và 8p+18p+1 là số nguyên tố thì ta có:

∙∙ Xét p=2p=2. Khi đó ta có:

8p+1=8.2+1=178p+1=8.2+1=17 là số nguyên tố, 8p−1=8.2−1=158p−1=8.2−1=15 là hợp số.

Vậy bài toán đúng với p=2p=2

∙∙ Xét p=3p=3 thì 8p+1=8.3+1=258p+1=8.3+1=25 là hợp số (trái với giả thiết)

∙∙ Xét p≠3p≠3. Vì pp là số nguyên tố nên pp không chia hết cho 33.

Giả sử pp chia 33 dư 1⇒p=3k+1(k∈N)1⇒p=3k+1(k∈N).

Khi đó: 8p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3)⋮38p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3)⋮3

⇒⇒ 8p+18p+1 là hợp số (trái với giả thiết).

Do đó pp chia 3 dư 2, hay p=3k+2 (k∈N)p=3k+2 (k∈N)

Khi đó: 8p−1=8.(3k+2)−1=24k+15=3.(8k+5)⋮3⇒8p−1=8.(3k+2)−1=24k+15=3.(8k+5)⋮3⇒ 8p−18p−1 là hợp số.

Vậy, nếu 8p+18p+1 và pp đều là số nguyên tố thì 8p−18p−1 là hợp số.

+) Với pp và 8p−18p−1 là số nguyên tố thì ta có:

∙∙ Xét p=2p=2. Khi đó ta có:

8p−1=8.2−1=158p−1=8.2−1=15 là hợp số (trái với giả thiết)

∙∙ Xét p=3p=3. Khi đó ta có:

8p−1=8.3−1=238p−1=8.3−1=23 là số nguyên tố, 8p+1=8.3+1=25⋮58p+1=8.3+1=25⋮5 là hợp số.

Vậy bài toán đúng với p=3p=3

∙∙ Xét p≠3p≠3. Vì pp là số nguyên tố nên pp không chia hết cho 33.

Giả sử pp chia 33 dư 2⇒p=3k+2(k∈N)2⇒p=3k+2(k∈N).

Khi đó: 8p−1=8.(3k+2)−1=24k+16−1=24k+15=3.(8k+5)⋮38p−1=8.(3k+2)−1=24k+16−1=24k+15=3.(8k+5)⋮3

⇒⇒ 8p−18p−1 là hợp số (trái với giả thiết).

Do đó pp chia 3 dư 1, hay p=3k+1 (k∈N)p=3k+1 (k∈N)

Khi đó: 8p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3)⋮3⇒8p+1=8.(3k+1)+1=24k+9=3.(8k+3)⋮3⇒ 8p+18p+1 là hợp số.

Vậy, nếu 8p−18p−1 và pp đều là số nguyên tố thì 8p+18p+1 là hợp số 

Answer 2

Cho p và 8p - 1 là các số nguyên tố . Chứng minh rằng 8p + 1 là hợp số .

* Nếu p = 3 \(\Rightarrow\) 8p - 1 = 23 là nguyên tố , 8p + 1 = 25 là hợp số ( thỏa mãn )

* Xét : p # 3

Ta thấy : p - 1 , p , p + 1 là 3 số nguyên liên tiếp , nên phải có 1 số chia hết cho 3 .

p nguyên tố khác 3 nên p - 1 hoặc p + 1 chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) ( p - 1 ) ( p + 1 ) chia hết cho 3 .

Vậy : ( 8p - 1 ) ( 8p + 1 ) = 64p² - 1 = 63p² + p² - 1 = 3 . 21p² + ( p - 1 ) ( p + 1 ) chia hết cho 3 .

Vì 8p - 1 là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) 8p + 1 chia hết cho 3 , hiển nhiên 8p + 1 > 3

\(\Rightarrow\) 8p + 1 là hợp số  .

Bạn tham khảo bài của mình nhé !!