Question

Cho p là số nguyên tố

Tìm tất cả số p để \(2^p+p^2\) là số nguyên tố

Answer 1

- Xét với \(p=2\Rightarrow2^p+p^2=8\) ko phải SNT

- Xét với \(p=3\Rightarrow2^p+p^2=17\) là SNT (thỏa mãn)

- Xét với \(p>3\Rightarrow2^p+p^2>3\) đồng thời \(p^2\) chia 3 dư 1 (1)

Đồng thời \(p>3\) nên p lẻ \(\Rightarrow p=2k+1\Rightarrow2^p=2^{2k+1}=2.4^k\)

Mà \(4\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\) hay \(2^p\) chia 3 dư 2 (2)

(1);(2) \(\Rightarrow2^p+p^2\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow2^p+p^2\) không phải SNT

Vậy \(p=3\) là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu