Question

Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng p^2-1 chia hết cho 3.

Answer 1

p²−1=p²+p−p−1=(p²+p)−(p+1)=p(p+1)−(p+1)=(p−1).(p+1)

p là số nguyên tố >3 =>p là số lẻ =>p-1;p+1 là 2 số chẵn liên tiếp=>(p-1)(p+1) chia hết cho 8

p là số nguyên tố >3 =>p=3k+1;3k+2

với p=3k+1=>(p-1)(p+1)=(3k+1-1)(p+1)=3k(p+1) chia hết cho 3 (1)

với p=3k+2 =>(p-1)(p+1)=(p-1)(3k+2+1)=(p-1)(k+1)3 chia hết cho 3 (2)

từ (1);(2) =>p²−1chia hết cho 3;8

mà (3;8)=1⇒p²−1chia hết cho 24

=>đpcm

Answer 2

 tinh chat (binh phuong mot so nguyen to khac 3  luon co dang 3k+1)(*)

p^2=3k+1=> p^2-1=3k chia het cho 3 

khong duoc ap dung (*) thi c/m tan goc luon

p nguyen to >3 => p la so le=> p=2k+1 voi k =3n hoac (3n+1) ko the =(3n+2) (**) 

p^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1

4k(k+1) luon chia het cho 3 vi (**)=> t/c (*) duoc chung minh