Vì \(p\)là số nguyên tổ nên tổng các ước nguyên dương của \(p^4\)là \(1+p+p^2+p^3+p^4\).
Đặt \(p^4+p^3+p^2+p+1=n^2\)
\(\Leftrightarrow4p^4+4p^3+4p^2+4p+1=4n^2\)
Ta có:
\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4>4p^4+4p^3+p^2=\left(2p^2+p\right)^2\)
\(4p^4+4p^3+4p^2+4p+4< 4p^4+4p^3+9p^2+4p+4=\left(2p^2+p+2\right)^2\)
Suy ra \(\left(2p^2+p\right)^2< 4n^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2n\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2=4p^4+4p^3+5p^2+2p+1\)
\(\Rightarrow p^2-2p-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(p+1\right)\left(p-3\right)=0\)
\(\Rightarrow p=3\)thỏa mãn.
Vậy \(p=3\).
