Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
hiền nguyễn

Cho (O) có đường kính AC \(\perp\) BD . Gọi M là điểm bất kì trên cung BC nhỏ, DM cắt AC tại E, cắt AB tại F. Gọi I là tâm ngoại tam giác CME. Xác định vị trí điểm M để OI ngắn nhất.

Lê Thị Ngọc Bích
20 tháng 5 2023 lúc 20:06

Để OI ngắn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM vuông góc với OE.

Gọi H là hình chiếu của I trên OE. Ta có:

Trong tam giác IHE vuông tại H, ta có IH ≤ IE.

Trong tam giác IME vuông tại I, ta có IM ≤ IE.

Do đó, ta cần tìm vị trí của M sao cho IM càng nhỏ càng tốt.

Gọi G là giao điểm của AC và BD. Khi đó, ta có:

Tam giác AFG đồng dạng với tam giác CME (do có hai góc vuông bằng nhau).

Do đó, ta có:

$\frac{IM}{IE}=\frac{CG}{AE}=\frac{CG}{AC}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}$

Vì BG = CG, nên ta có thể viết lại:

$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AC}{AE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}$

Ta cần tìm vị trí của M để IM đạt giá trị nhỏ nhất. Để làm được điều này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $\frac{IM}{IE}$.

Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này:

$\frac{IM}{IE}=\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}\geq 2\sqrt{\frac{BG}{BD}\cdot\frac{AB+BC}{AB+BE}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi AB = BE.

Vậy để OI ngắn nhất, ta cần chọn M sao cho AB = BE.

20:05    Chatbot GPT 

Các câu hỏi tương tự
Phan Tiến Ngọc
Xem chi tiết
nguyễn Hồng hạnh
Xem chi tiết
Truong Ngo Tho
Xem chi tiết
The darksied
Xem chi tiết
Nguyễn Hà My
Xem chi tiết
lê tú
Xem chi tiết
Đặng Thị Yến Nhi
Xem chi tiết
Phạm Tường Vi
Xem chi tiết
Tư Cao Thủ
Xem chi tiết