Cho nửa đường tròn tâm O.Đường kính AB,AC là dây cung của nó.
Tiếp tuyến Ax; phân giác góc CAx giao với BC tại D.AD giao với đường tròn tâm O tại E.
Chứng minh:
a, Tam giác ABD cân. OE song song với BD.
b,AC giao với BE tại I. Chứng minh DI vuông góc với AB.
c,C di động trên nửa đường tròn tâm O thì D chạy trên đường nào
a) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với Ax tại N
Ta có EN song song AB ( cùng \(\perp\) Ax)
Xét ΔNAE vuông tại N và ΔCAD vuông tại C, có
\(\widehat{NAE}\) = \(\widehat{CAD}\) (AD là tia phân giác của \(\widehat{CAx}\))
→ΔNAE đồng dạng ΔCAD (gn)
→\(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{ADC}\) (2 góc tương ứng)
mà \(\widehat{AEN}\) = \(\widehat{BAE}\) ( 2goc1 so le trong của eN song song AB)
→\(\widehat{ADC}\) = \(\widehat{BAE}\) (cùng bằng \(\widehat{AEN}\) )
→ΔBAD cân tại B
Ta lại có ΔOAE cân tại O (OA=OE)
→\(\widehat{OAE}\) = \(\widehat{OEA}\) mà \(\widehat{BAE}\) =\(\widehat{ADC}\) (cmt)
→\(\widehat{OEA}\) = \(\widehat{ADC}\) (cùng bằng \(\widehat{OAE}\) )
mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị của OE và BD→OE song song BD
b)Xét ΔACB nội tiếp (O) có đường kính AB
→ΔACB vuông tại C có cạnh huyền AB
Xét ΔAEB nội tiếp (O) có đường kính AB
→ΔAEB vuông tại E có cạnh huyền AB
Xét ΔADB có 2 đường cao Ac và BE cắt nhau tại I
→I là trực tâm→DI là đường cao trong ΔADB→DI \(\perp\) AB
