Cho nửa đường tròn tâm (O),đường kính AB = 2R.Vẽ bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm K bất kì thuộc cung AC, kẻ KH vuông gócvới AB tại H. Tia AC cắt HK tại I, tia BI cắt nửa tròn tại điểm E.
1) Chứng minh tứ giác BHIC nội tiếp;
2) Chứng minhAI.AC = AH. AB và tổng AI.AC +BI.BE không đổi.
3) Chứng minh HE vuông góc với CEvà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEH nằm trên đường thẳng cố định khi K di động trên cung AC.
1) AB là đường kính \(\Rightarrow\angle ACB=90\) mà \(\angle IHB=90\Rightarrow BHIC\) nội tiếp
2) Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ACB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AHI=\angle ACB=90\\\angle CABchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AHI\sim\Delta ACB\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AH}=\dfrac{AB}{AC}\Rightarrow AI.AC=AB.AH\)
Tương tự \(\Rightarrow\Delta BIH\sim\Delta BAE\Rightarrow\dfrac{BI}{BH}=\dfrac{BA}{BE}\Rightarrow BI.BE=BA.BH\)
\(\Rightarrow AI.AC+BI.BE=AH.AB+BH.AB=AB\left(AH+BH\right)\)
\(=AB^2=4R^2\)
3) Xét \(\Delta CAB\): Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACB=90\\AO=OB\\CO\bot AB\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta CAB\) vuông cân tại C
\(\Rightarrow\) C cố định
Ta có: \(\angle ECO+\angle EHO=90+\angle ECA+\angle ACO+\angle EHI\)
\(90+\angle EBA+\angle CAO+\angle IAE=90+\angle EAB+\angle EBA=180\)
\(\Rightarrow CEHO\) nội tiếp mà \(\angle HOC=90\Rightarrow\angle HEC=90\Rightarrow HE\bot EC\)
Vì \(CEHO\) nội tiếp \(\Rightarrow\) tâm của (CEH) là tâm của (CEHO)
\(\Rightarrow\) tâm của (CEH) thuộc trung trực CO mà C,O cố định
\(\Rightarrow\) đpcm
