Question

Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$. Gọi $Ax$, $By$ là các tia vuông góc với $AB$ ($Ax$, $By$ và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ $AB$). Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc tia $Ax$. Qua $M$ kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt $By$ ở $N$.
a) Tính số đo góc $MON$.
b) Chứng minh rằng \(AM.BN=R^2\) ($R$ là bán kính của nửa đường tròn).
c) Tìm vị trí điểm $M$ để diện tích hình thang $AMNB$ nhỏ nhất.

Answer 1

                                                           bài làm

a, gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến MN 

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

nên ta có: MN=HM=HN=\(\dfrac{1}{2}\)(AOH =HON)=90 độ

vậy góc MON=90 đọ và là tâm giác vuông tại O đường cao OH

b,theo giả thuyết 2 tiếp tuyến AM và MH cắt nhau tại M

⇒ AM=MH ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

theo giả thuyết 2 tiếp tuyến HN cắt BN tại N

⇒ HN=BN ( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOH2=MH.HNAM.BN=MI.NI=OI^

Vì vậy $AM.BN=MH.NH=\backslash (OH^2\backslash )$=\(R^2\)

 

 

 

 

Answer 2

Answer 3

 

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\widehat{MOA}=\widehat{MOI},\widehat{ION}=\widehat{NOB}MOA=MOI,ION=NOB.
Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{ION}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOI}+\widehat{ION}\right)=90^oMON=MOI+ION=21​(AOI+ION)=90o.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA=MI,IN=NB$.
 Vì vậy $AM.BN=MI.NI$.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOI2=MI.IN.
Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI^2=R^2AM.BN=MI.NI=OI2=R2.
c)  Ta chứng minh được $\Delta AMO=\Delta IMO$, $\Delta INO=\Delta BNO$.
Diện tích hình thang AMNB bằng:
       S_{\Delta AMO}+S_{\Delta IMO}+S_{\Delta INO}+S_{\Delta BNO}SΔAMO​+SΔIMO​+SΔINO​+SΔBNO​.

      =2S_{\Delta MIO}+2S_{\Delta ION}=2SΔMIO​+2SΔION​ =2\left(S_{\Delta MIO}+S_{\Delta ION}\right)=2(SΔMIO​+SΔION​)=2S_{\Delta MON}=2SΔMON​.
Suy ra diện tích hình thang AMNB nhỏ nhất khi diện tích tam giác MON nhỏ nhất.
S_{\Delta MON}=\dfrac{1}{2}OI.MN=\dfrac{1}{2}.R.MNSΔMON​=21​OI.MN=21​.R.MN.
Vậy để diện tích MON nhỏ nhất thì MN có độ dài nhỏ nhất.
$MN=MI+IN$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \left(MI+IN\right)^2\ge4\text{ }MI.IN=4R^2(MI+IN)2≥4 MI.IN=4R2.
Suy ra \min_{MI+IN}=2RminMI+IN​=2R.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $MI=IN=R$.
Suy ra $AM=MI=IN=NB$$=R$.
Vậy điểm M thuộc tia Ax sao cho $AM=R$ thì hình thang AMNB có diện tích nhỏ nhất.

Answer 4

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\widehat{MOA}=\widehat{MOI},\widehat{ION}=\widehat{NOB}MOA=MOI,ION=NOB.
Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{ION}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOI}+\widehat{ION}\right)=90^oMON=MOI+ION=21​(AOI+ION)=90o.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA=MI,IN=NB$.
 Vì vậy $AM.BN=MI.NI$.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI^2=MI.INOI2=MI.IN.
Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI^2=R^2AM.BN=MI.NI=OI2=R2.
c)  Ta chứng minh được $\Delta AMO=\Delta IMO$, $\Delta INO=\Delta BNO$.
Diện tích hình thang AMNB bằng:
       S_{\Delta AMO}+S_{\Delta IMO}+S_{\Delta INO}+S_{\Delta BNO}SΔAMO​+SΔIMO​+SΔINO​+SΔBNO​.

      =2S_{\Delta MIO}+2S_{\Delta ION}=2SΔMIO​+2SΔION​ =2\left(S_{\Delta MIO}+S_{\Delta ION}\right)=2(SΔMIO​+SΔION​)=2S_{\Delta MON}=2SΔMON​.
Suy ra diện tích hình thang AMNB nhỏ nhất khi diện tích tam giác MON nhỏ nhất.
S_{\Delta MON}=\dfrac{1}{2}OI.MN=\dfrac{1}{2}.R.MNSΔMON​=21​OI.MN=21​.R.MN.
Vậy để diện tích MON nhỏ nhất thì MN có độ dài nhỏ nhất.
$MN=MI+IN$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \left(MI+IN\right)^2\ge4\text{ }MI.IN=4R^2(MI+IN)2≥4 MI.IN=4R2.
Suy ra \min_{MI+IN}=2RminMI+IN​=2R.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: $MI=IN=R$.
Suy ra $AM=MI=IN=NB$$=R$.
Vậy điểm M thuộc tia Ax sao cho $AM=R$ thì hình thang AMNB có diện tích nhỏ nhất.

Answer 5

a,Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O)

   =>IM là tiếp tuyến của đường tròn (O),tiếp điểm A 

   Ta có AM và IM là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O),A và I là 2 tiếp điểm 

   =>AM=IM;MOA =MOI (tính chất)

  CMTT:ION=NOB;IN=NB

  Ta có :MOI =MOI + ION 

                    =1/2(AOI + IOB)

                    = 90 độ 

b,Ta có : MA=MI , IN=NB (cmt)

   =>AM.BN=MI.NI   (1)

Xét tam giác OMN vuông tại O ,OI vuông góc với MN tại I 

  =>OI bp=MI . IN      (2)

 Từ (1) và (2) =>AM.BN=MI.NI=OI bp

                     mà OI=R

      =>AM . BN = R bp (đpcm)

Answer 6

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:^MOA=^MOI,^ION=^NOB.
Vì vậy ^MON=^MOI+^ION=12 (^AOI+^ION)=90o.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA=MI,IN=NB.
 Vì vậy AM.BN=MI.NI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI2=MI.IN.
Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI2=R2.
c)  Ta chứng minh được ΔAMO=ΔIMO, ΔINO=ΔBNO.
Diện tích hình thang AMNB bằng:
       SΔAMO+SΔIMO+SΔINO+SΔBNO.

      =2SΔMIO+2SΔION =2(SΔMIO+SΔION)=2SΔMON.
Suy ra diện tích hình thang AMNB nhỏ nhất khi diện tích tam giác MON nhỏ nhất.
SΔMON=12 OI.MN=12 .R.MN.
Vậy để diện tích MON nhỏ nhất thì MN có độ dài nhỏ nhất.
MN=MI+IN.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: (MI+IN)2≥4 MI.IN=4R2.
Suy ra .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: MI=IN=R.
Suy ra AM=MI=IN=NB=R.
Vậy điểm M thuộc tia Ax sao cho AM=R thì hình thang AMNB có diện tích nhỏ nhất

Answer 7

 

 

 

 

Answer 8

a) goị I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn O 
theeo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có 
góc MOA  =MOI, ION=NOB 
nên MON =MOI +ION =\(\dfrac{1}{2}\)(AOI+ION)=90'
⇒MON=90'
b) theeos tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có MA =MI.IN =NB 
nên AM.BN=MI.NI
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông có \(^{OI^2}\)=MI.NI
nên AM.BN =MI.NI=\(^{OI^2}\)=\(^{R^2}\)

Answer 9

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:\widehat{MOA}=\widehat{MOI},\widehat{ION}=\widehat{NOB}MOA=MOI,ION=NOB.
Vì vậy \widehat{MON}=\widehat{MOI}+\widehat{ION}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{AOI}+\widehat{ION}\right)=90^oMON=MOI+ION=21​(AOI+ION)=90o.

Answer 10

a) Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với nửa đường tròn (O).

Theo tính chất của tiếp tuyến cắt nhau, ta có:^MOA=^MOI,^ION=^NOB.
Vì vậy ^MON=^MOI+^ION=12 (^AOI+^ION)=90o.
b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA=MI,IN=NB.
 Vì vậy AM.BN=MI.NI.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: OI2=MI.IN.
Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI2=R2.

Answer 11

a, Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O)

có Ax vuông góc với AO và AO là bán kính của đường tròn (O)

=> AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

xét (O) có 2 tiếp tuyến MI và AM cắt nhau tại M với tiếp điểm I, A và  OA = OI = R_(O)

=> AM = MI 

_{=> OM là tia phân giác của góc AOI (1)}

có By vuông góc với OB tại B và OB là bán kính của đường tròn (O)

=> By là tiếp tuyến của đường tròn (O)

xét (O) có 2 tiếp tuyến IN và BN cắt nhau tại N với tiếp điểm I, N và OI=OB=R_(O)

_{=> NI = NB}

_{=> ON là tia phân giác của góc IOB (2)}

mà AOI kề bù với IOB (3)

từ (1), (2), và (3) suy ra: góc MON = \(90^{o}\)

b,Xét Δ MON vuông tại O có OI vuông góc với MN

=> OI²  = MI . IN ( HTL)

mà AM = MI (cmt) và BN = IN (cmt)

=> OI²  = AM . BN

=> R²  = AM . BN (đpcm)

Answer 12

Answer 13

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối  OI.

Ta có:  $\widehat{AOI}+\widehat{BOI}={180}^{\circ }$ (hai góc kề bù)

              OM là tia phân giác cảu góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

              ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: OM ⊥ ON (tính chất hai góc kề bù)

Vậy \(\widehat{MON}=90^o\)

b. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $MA=MI,IN=NB$.
 Vì vậy $AM.BN=MI.NI$.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:\(OI^2\) $=MI.IN$.

Vì vậy AM.BN=MI.NI=OI^2=R^2AM.BN=MI.NI=\(OI^2=R^2\)