Question

cho nữa đường tròn (O) đường kính MN=2R. gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại N. trên cung MN lấy điểm E tùy ý (E không trùng M, N), tia ME cắt (d) tại F. gọi P là trung điểm của ME, tia PO cắt (d) tại Q. Xác định vị trí điểm E trên cung MN để tổng MF+2ME đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

super easy!

theo hệ thức lượng và BĐT cô-si:

\(MF+2ME\ge2\sqrt{2MF.ME}=2\sqrt{2MN^2}=2MN\sqrt{2}\)

Vậy GTNN của MF+2ME là  \(2MN\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}MF=2ME\\MF+2ME=2MN\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)  \(2MF=2MN\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow MF=MN\sqrt{2}\)

Ta có  \(\sin F=\frac{MN}{MF}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)  nên  \(\widehat{F}=45^0\)

Hay tam giác MNF vuông cân => ... => tam giác MNE vuông cân => ME = NE => E nằm chính giữa cung MN

p/s: làm bài tốt ko bn?