Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Trên nửa dường tròn (O), lấy hai điểm A và D (theo thứ tự B, A, D, C). Tia BA và CD cát nhau tại S, đoạn thẳng AC cát BD tại H. là a. Chứng minh SH vuông góc với BC tại E và tứ giác HECD nội tiếp. b. Gọi T là trung điểm SH, tia AT cắt SC tại I, DE cắt HC tại K. Chúng minh: góc TAH = góc KDC Từ đó suy ra CK.CA = CD.CI c. Chứng minh ∆IAK cân.
a.
Do BC là đường kính \(\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BDC}=90^0\) (góc nt chắn nửa đường tròn)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}CA\perp SB\\BD\perp SC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\) là trực tâm tam giác SBC
\(\Rightarrow SH\) là đường cao thứ 3 của tam giác SBC
\(\Rightarrow SH\perp BC\) tại E
\(\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{HDC}=90^0\Rightarrow E,D\) cùng nhìn HC dưới 1 góc vuông nên tứ giác HECD nội tiếp
b.
A và D cùng nhìn SH dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow SAHD\) nội tiếp đường tròn đường kính SH
Mà T là trung điểm SH \(\Rightarrow T\) là tâm đường tròn ngoại tiếp SAHD
\(\Rightarrow TA=TH\Rightarrow\Delta TAH\) cân tại T
\(\Rightarrow\widehat{TAH}=\widehat{THA}\)
Mà \(\widehat{THA}=\widehat{EHC}\) (đối đỉnh)
\(\widehat{EHC}=\widehat{KDC}\) (cùng chắn EC của đường tròn ngoại tiếp HECD)
\(\Rightarrow\widehat{TAH}=\widehat{KDC}\)
Xét 2 tam giác CKD và CIA có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{KCD}-chung\\\widehat{KDC}=\widehat{TAH}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta CKD\sim\Delta CIA\left(g.g\right)\) (1)
\(\Rightarrow\dfrac{CK}{CI}=\dfrac{CD}{CA}\Rightarrow CK.CA=CD.CI\)
c.
Từ (1) \(\Rightarrow\widehat{CKD}=\widehat{CIA}\)
Mà \(\widehat{CKD}+\widehat{AKD}=180^0\) (kề bù)
\(\Rightarrow\widehat{CIA}+\widehat{AKD}=180^0\)
\(\Rightarrow AIDK\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DAK}=\widehat{DIK}\) (cùng chắn DK) (2)
Lại có \(\widehat{DAK}=\widehat{DBC}\) (cùng chắn cung CD của (O)) (3)
Đồng thời D và E cùng nhìn SB dưới 1 góc vuông \(\Rightarrow SBED\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DSE}\) (cùng chắn DE) (4)
(2);(3);(4) \(\Rightarrow\widehat{DIK}=\widehat{DSE}\)
\(\Rightarrow IK||SE\) (hai góc đồng vị bằng nhau)
\(\Rightarrow\widehat{IKA}=\widehat{THA}\) (đồng vị)
Mà \(\widehat{THA}=\widehat{TAH}\) (theo cm câu b)
\(\Rightarrow\widehat{IKA}=\widehat{TAH}\)
\(\Rightarrow\Delta IAK\) cân tại I
