Cho nửa đương tâm O tròn tâm kính AB Trên nửa mp bờ là AB có chứa nửa đtròn vẽ tia Ax vuông góc với AB Lấy điểm C vẽ tia phân giác của góc ABC cắt nửa đtròn tại điểm thứ 2 là D và cắt Ax,AD lần lượt tại E,H.AD cắt BC tại F
a, CM FH vuông góc AB
b,Tứ giác AEFH là hình gì,vì sao?
c,Cho AB=2R góc ABC = 60 độ Tính SABFH
Tự vẽ hình nhé.
a). \(\Delta ADB\) nội tiếp nửa đường tròn.
\(\Rightarrow AD\perp BD\)
\(\Delta ACB\) nội tiếp nửa đường tròn.
\(\Rightarrow AC\perp BC\)
\(\Delta ABF\) có hai đường cao AC giao BD qua H.
\(\Rightarrow\) H là trực tâm của \(\Delta ABF\)
\(\Rightarrow\) FH là đường cao \(\Rightarrow FH\perp AB\)
b).
\(\Delta ABF\) có \(\left\{{}\begin{matrix}BD:đường.cao\\BD:phân.giác\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABF\) cân tại B \(\Rightarrow\) BD là đường trung trực AF
\(\Rightarrow AD=AF\)
Có \(\left\{{}\begin{matrix}AE\perp AB\\HF\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AE//HF\left(1\right)\)
Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta FBE\) có:
\(\widehat{ABE}=\widehat{FBE}\)
\(AB=BF\) (\(\Delta ABE\) cân tại B)
\(BE\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta FBE\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{EFB}=\widehat{EAB}=90^o\) (2 góc tương ứng).
\(\Rightarrow EF\perp BF\) \(\Rightarrow AC//HF\)
Mà \(AC\perp BF\)
\(\Rightarrow AH//EF\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(AEFH\) là hình bình hành có \(HE\perp AF\)
\(\Rightarrow AEFH\) là hình thoi.
c).
\(\widehat{ABC}=60^o\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{EBF}=30^o\)
\(\dfrac{AD}{AB}=sin30^o\Rightarrow AD=R\)
\(\Delta ABF\) cân tại \(B\) có \(\widehat{B}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABF\) là tam giác đều \(\Rightarrow AF=AB=2R\)
\(\Delta AEB\perp\) tại \(A\) \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=tan30^o\)
\(\Rightarrow AE=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\Rightarrow DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow S_{AEFH}=\dfrac{1}{2}AF.EH=\dfrac{1}{2}AF.DE\)
\(=\dfrac{1}{2}.2R.\dfrac{R}{\sqrt{3}}=\dfrac{R^2}{\sqrt{3}}\)
