Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Pham Trong Bach

Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi M, N, P, Q,, R tương ứng là trung điểm của các cạnh BC, CD, DE, EA, AB. Chứng minh MNPQR là ngũ giác đều.

Cao Minh Tâm
6 tháng 7 2019 lúc 7:32

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét △ ABC và  △  BCD:

AB = BC (gt)

∠ B = ∠ C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó:  △  ABC =  △  BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét  BCD và  CDE:

BC = CD (gt)

∠ C =  ∠ D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó:  △  BCD =  △  CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét  △ CDE và  △  DEA:

CD = DE (gt)

∠ D =  ∠ E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó:  △  CDE =  △  DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét  DEA và  EAB:

DE = EA (gt)

∠ E =  ∠ A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó:  △  DEA =  △  EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong  △  ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  △  EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có:  ∠ A =  ∠ B =  ∠ C =  ∠ D =  ∠ E = ((5-2 ). 180 0 )/5 =  108 0

△  DPN cân tại D

∠ (DPN) =  ∠ (DNP) = ( 180 0 -  ∠ D )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

△  CNM cân tại C

⇒  ∠ (CNM) =  ∠ (CMN) = ( 180 0 -  ∠ D )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (ADN) +  ∠ (PNM) +  ∠ (CNM) =  180 0

⇒  ∠ (PNM) =  180 0  - ( ∠ (ADN) +  ∠ (CNM) )

            = 180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  BMR cân tại B

⇒  ∠ (BMR) =  ∠ (BRM) = ( 180 0 -  ∠ B )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (CMN) +  ∠ (BRM) +  ∠ (BMR) =  180 0

⇒  ∠ (NMR) =  180 0  - ( ∠ (CMN) +  ∠ (BMR) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  ARQ cân tại A

⇒  ∠ (ARQ) =  ∠ (AQR) = ( 180 0 -  ∠ A )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (BRM) +  ∠ (MRQ) +  ∠ (ARQ) =  180 0

⇒  ∠ (MRQ) =  180 0  - ( ∠ (BRM) +  ∠ (ARQ) )

            = 180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

△  QEP cân tại E

⇒  ∠ (EQP) =  ∠ (EPQ) = ( 180 0 -  ∠ E )/2 = ( 180 0  -  108 0 )/2 =  36 0

∠ (AQR) + (RQP) + (EQP) =  180 0

⇒  ∠ (RQP) =  180 0  - ( ∠ (AQR) +  ∠ (EQP) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

∠ (EQP) +  ∠ (QPN) +  ∠ (DPN) =  180 0

⇒  ∠ (QPN) =  180 0  - ( ∠ (EPQ) +  ∠ (DPN) )

            =  180 0  - ( 36 0  –  36 0 ) =  108 0

Suy ra :  ∠ (PNM) =  ∠ (NMR) =  ∠ (MRQ) =  ∠ (RQP) =  ∠ (QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tất Đạt
Xem chi tiết
Đặng Hà
Xem chi tiết
Vũ Huy Đô
Xem chi tiết
Phan MInh Trí
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Pham Trong Bach
Xem chi tiết
Linh Linh
Xem chi tiết
cẩm ly nguyễn
Xem chi tiết
cẩm ly nguyễn
Xem chi tiết