Question

Cho N=2015^2016.Viết N thành tổng của k số tự nhiên:N=n₁+n₂+n₃+...+n_k

Xét S=n₁³+n₂³+...+n_k³ . Tìm số dư khi S chia cho 6

Answer 1

+) Nhận xét: Với n thuộc N ta có :   n³ - n = n(n² - 1) = n.(n - 1).(n + 1) 

n - 1; n ; n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên tích n(n-1).(n+1) chia hết cho 6 => n³ - n chia hết cho 6

Xét S - N = (n₁³+n₂³+...+n_k³ ) -  (n₁+n₂+n₃+...+n_k) = (n₁³ - n₁) + (n₂³ - n₂) + ...+ (n_k³ - n_k) 

từ nhận xét trên =>  n₁³ - n₁  chia hết cho 6; n₂³ - n₂ chia hết cho 6 ;...; n_k³ - n_k chia hết cho 6

=> S - N chia hết cho 6 

=> S và N có cùng số dư khi chia cho 6

Xét N = 2015²⁰¹⁶ chia cho 6

Có: 2015 đồng dư với 5 (mod 6)

=> 2015² đồng dư với 5² (mod 6); 5² đồng dư với 1 (mod 6)

=> 2015² đòng dư với 1 (mod 6)

=> 2015²⁰¹⁶ = (2015²)¹⁰⁰⁸ đồng dư với 1¹⁰⁰⁸ = 1(mod 6)

=> N chia cho 6 dư 1 => S chia cho 6 dư 1