Ta có n > 2
Suy ra n! = 1.2. ... .n
Ta thấy 1.2. ... .n là số chẵn
Do đó 1.2. ... .n - 1 là số lẻ
Mà số lẻ sẽ là số nguyên tố hoặc hợp số
TH1 : 1.2. ... n là số nguyên tố
Ta có n > 2
Nên n = 3 là bé nhất
Với n = 3 thì 1.2. ... . n - 1 = 1.2.3 -1 = 6 -1 = 5
Mà ước của 5 là 1 ; 5
Mà 5 là số nguyên tố lớn hơn 2 nên 5 có 1 ước lớn hơn và đối với các số nguyên tố lớn hơn 5 luôn có một ước lớn hơn 2 là chính nó
Do đó đối với các trường hợp n > 3 sẽ luôn được n! -1 có ít nhất 1 ước nguyên tố lớn hơn
TH2 1.2. ... .n là hợp số
Ta thấy 1 hợp số lẻ ít nhất có 1 ước nguyên tố
Ở trường hợp trên ta đã nói được 1.2. ... .n - 1 lớn hơn hoặc bằng 5
Các hợp số lẻ lớn hơn hoặc bằng là 9 ; 15 ; 21 ;...
Ta thấy các hợp số trên có ước nguyên tố bé nhất là từ 3 trở lên
Mà 3 lá số nguyên tố lớn hơn 2
Do đó 1.2. ... .n - 1 là các hợp số lẻ có các ước nguyên tố lớn hơn 2
Vậy n! -1 ít nhất có 1 ước nguyên tố lớn hơn 2 với n thuộc N và n > 2
