Question

cho n thuộc N cmr:

a, 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹chia hết cho 59

b,( 4²ⁿ - 3²ⁿ-7) chia hết cho 168 ( n lớn hơn hoặc bằng 1 )

Answer 1

a, Ta có : 5ⁿ⁺² + 26.5ⁿ + 8²ⁿ⁺¹ = 25.5ⁿ + 26.5ⁿ + 8.64ⁿ = 51.5ⁿ + 8.64ⁿ

Vì \(64\equiv5\) ( mod 59 ) nên \(64^n\equiv5^n\) ( mod 59 )

Do đó : \(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv51.5^n+8.5^n\) ( mod 59 )

\(\Leftrightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv59.5^n\) ( mod 59 )

\(\Leftrightarrow5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\equiv0\) ( mod 59 ) hay \(\left(5^{n+2}+26.5^n+8^{2n+1}\right)⋮59̸\)

b, Ta có : \(168=2^3.3.7\)

- Vì \(3^{2n}+7=9^n+7\equiv1+7\)( mod 8 ) hay \(3^{2n}+7\equiv0\) ( mod 8 )

\(\Rightarrow\left(3^{2n}+7\right)⋮8.\)Mặt khác : \(4^{2n}=16^n⋮8\)nên \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮8\)     (1)

- Vì \(4^{2n}\equiv1\)( mod 3 ) ; \(7\equiv1\)( mod 3 ) \(\Rightarrow4^{2n}-7\equiv0\) ( mod 3 ) 

Do đó : \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮3\)   (2)

- Vì \(4^{2n}=16^n\equiv2^n\) ( mod 7 ) ; \(3^{2n}=9^n\equiv2^n\) ( mod 7 )

nên \(4^{2n}-3^{2n}\equiv0\) ( mod 7 ). Do đó : \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮7\) (3)

Từ (1);(2);(3) và ( 8,3,7 ) = 1 nên \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮8.3.7\)

hay \(\left(4^{2n}-3^{2n}-7\right)⋮168\) \(\left(n\ge1\right)\)

Answer 2

n lớn hơn 1 nhé