Question

Cho n số x₁, x₂, ..., x_n mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x₁.x₂ + x₂.x₃ + ...+ x_n.x₁ = 0 thì n chia hết cho 4.

Answer 1

Lời giải:

Do $x_1,x_2,...,x_n$ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$ nên 

$x_1x_2, x_2x_3,...., x_nx_1$ nhận giá trị $1$ hoặc $-1$

Mà $x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1=0(*)$ nên số lượng tích nhận giá trị $-1$ bằng số lượng tích nhận giá trị $1$

Gọi số lượng tích nhận giá trị $-1$ và $1$ đều là $m$

Tổng số lượng tích có trong $(*)$: $m+m=n$

$\Rightarrow n=2m$ chẵn 

Lại có:

$x_1x_2.x_2x_3.x_3x_4...x_nx_1=(-1)^m.1^m$

$(x_1x_2....x_n)^2=(-1)^{\frac{n}{2}}$
$\Rightarrow (-1)^{\frac{n}{2}}=1$

$\Rightarrow \frac{n}{2}$ chẵn 

$\Rightarrow n\vdots 4$ (đpcm)