Question

Cho n số a₁, a₂, …, a_n biết rằng mỗi số trong chúng bằng1 hoặc -1 và  a₁. a₂ + a₂. a₃+…+ a_n-1. a_n+ a_n. a₁ = 0. Chứng tỏ rằng n chia hết cho 4

Answer 1

n số a₁, a₂, …, a_n mà mỗi số trong chúng bằng1 hoặc -1 nên \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)nhận giá trị 1 hoặc -1.

Mà ta có \(a_1.a_2+a_2.a_3+...+a_{n-1}.a_n+a_n.a_1=0\)nên trong các hạng tử \(a_1.a_2;a_2.a_3;...;a_{n-1}.a_n;a_n.a_1\)sẽ có 1 nửa nhận giá trị 1, nửa còn lại nhận giá trị -1.

Đặt \(n=2k\)

Mặt khác: \(\left(x_1.x_2\right)\left(x_2.x_3\right)...\left(x_n.x_1\right)=\left(x_1\right)^2.\left(x_2\right)^2...\left(x_n\right)^2=1\)

\(\Rightarrow1^k.\left(-1\right)^k=1\Rightarrow\left(-1\right)^k=1\)nên k chẵn

Vậy \(n⋮4\)(đpcm)