Question

cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 chứng minh n⁴+4ⁿ là hợp số

Answer 1

Với n chẵn thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Với n lẻ thì n = 2k + 1 thì ta có

n⁴ + 4^2k+1 = (n² + 2^2k+1)² - n².2^2k+2 = (n² + 2^2k+1 + n.2^k+1)(n² + 2^2k+1 - n.2^k+1)

^{Chỉ cần chứng minh cả 2 cái đó lớn hơn 1 là được}

^{Ta có} n² + 2^2k+1\(\ge\)\(2.n.2^{\frac{2k+1}{2}}=n.2^{k+1}\)

Vì n lẻ và > 1 nên n² + 2^2k+1 - n.2^k+1 > 1

Vậy số đó là hợp số

Answer 2

Với n chẵn thì tổng đó là hợp số vì chia hết cho 2

Với n lẻ thì n = 2k + 1 thì ta có

n4 + 42k+1 = (n2 + 22k+1)2 - n2.22k+2 = (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 - n.2k+1)

Chỉ cần chứng minh cả 2 cái đó lớn hơn 1 là được

Ta có n2 + 22k+1\ge≥2.n.2^{\frac{2k+1}{2}}=n.2^{k+1}2.n.222k+1​=n.2k+1

Vì n lẻ và > 1 nên n2 + 22k+1 - n.2k+1 > 1

Vậy số đó là hợp số