\(2021n-19\equiv21n+21\left(mod40\right)\)suy ra ta cần chứng minh \(n+1⋮40\)(vì \(\left(21,40\right)=1\)).
Đặt \(m=n+1\). Ta sẽ chứng minh \(m⋮40\).
Đặt \(2m+1=a^2,3m+1=b^2\).
\(2m+1\)là số lẻ nên \(a\)là số lẻ suy ra \(a=2k+1\).
\(2m+1=\left(2k+1\right)^2=4k^2+4k+1\Rightarrow m=2\left(k^2+k\right)\)nên \(m\)chẵn.
do đó \(3m+1\)lẻ nên \(b\)lẻ suy ra \(b=2l+1\).
\(3m+1=4l^2+4l+1\Leftrightarrow3m=4l\left(l+1\right)\)có \(l\left(l+1\right)\)là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(2\)do đó \(4l\left(l+1\right)\)chia hết cho \(8\)suy ra \(m⋮8\)vì \(\left(3,8\right)=1\).
Giờ ta sẽ chứng minh \(m⋮5\).
Nếu \(m=5p+1\): \(2m+1=10p+3\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương.
Nếu \(m=5p+2\): \(3m+1=15m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương.
Nếu \(m=5p+3\): \(2m+1=10m+7\)có chữ số tận cùng là \(7\)nên không là số chính phương.
Nếu \(m=5p+4\): \(3m+1=15m+13\)có chữ số tận cùng là \(3\)nên không là số chính phương.
Do đó \(m=5p\Rightarrow m⋮5\).
Có \(m⋮8,m⋮5\)mà \(\left(5,8\right)=1\)suy ra \(m⋮\left(5.8\right)\Leftrightarrow m⋮40\).
Ta có đpcm.
