Question

Cho n là một số tự nhiên lẻ. C/m rằng \(n^6-n^4-n^2+1\) chia hết cho 128.

Answer 1

\(M=n^6-n^4-n^2+1=n^4\left(n^2-1\right)-\left(n^2-1\right)=\left(n^2-1\right)\left(n^4-1\right)=\left(n^2-1\right)^2\left(n^2+1\right)=\) 

         \(=\left(n-1\right)^2\left(n+1\right)^2\left(n^2+1\right)\) Theo giae thiết n = 2t + 1 (Là số tự nhiên lẻ) với t là số tự nhiên. Do đó: 

\(M=\left(2t+1-1\right)^2\left(2t+1+1\right)^2.[\left(2t+1\right)^2+1]=4t^2.4\left(t+1\right)^2.[4t^2+4t+2].\) 

\(M=32.[t\left(t+1\right)]^2.[2t^2+2t+1]\)  Ta có  t(t + 1) là số chẵn  (Là tích hai số tự nhiên liên tiếp) bình phương của số đó chia hết cho 4 cho nên M chia hết cho 128       ( 128 =  32 x 4).