Question

Cho n là một số nguyên dương . Chứng minh rằng 11ⁿ⁺¹ + 12^2n-1 chia hết cho 133 

Answer 1

Ta sẽ chứng minh  : 11ⁿ⁺¹ + 12^2n-1 (1) với mọi n \(\inℕ^∗\)bằng phương pháp quy nạp 

Với n = 1 , ta có : 11ⁿ⁺¹ + 12^2n-1 = 11² + 12 = 133 

=> (1) đúng khi n = 1 

Giả sử đã có (1) đúng khi n = k , k \(\inℕ^∗\), ta sẽ Chứng minh nó cũng đúng khi n = k + 1 

Ta có : 

11^{(k+1) + 1} + 12^{2(k+1) - 1} = 11.(11^k+1 + 12^2k-1) + 12^2k-1.(12² - 11) 

                                  = 11 . (11^k+1 + 12^2k-1) + 133 . 12^{2k -1} (2) 

Mà 11^k+1 + 12^2k-1 \(⋮\)133 nên từ (2) ta suy ra được : 11^(k+1)+1 + 12^{2(k+1) - 1} \(⋮\)133 

Hay (1) đúng với n = k + 1 

Từ các chứng minh trên => (1) đúng với mọi n \(\inℕ^∗\)

Answer 2

\(11^{n+1}+12^{2n-1}=11^n\cdot11+12\cdot12^{2n-2}=11^n\cdot11+12\cdot144^{n-1}\)

\(11^n\cdot11+\left(133-121\right)\cdot144^{n-1}=133\cdot144^{n-1}-121\cdot144^{n-1}+11^n\cdot11\)

\(=133\cdot144^{n-1}-144^{n-1}\cdot121+11^{n-1}\cdot121\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144^{n-1}-11^{n-1}\right)\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\left(144-11\right)\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)

\(=133\cdot144^{n-1}-121\cdot133\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\)

\(=133\left(144^{n-1}-121\left(144^{n-2}+144^{n-3}\cdot11+144^{n-4}\cdot11^2+...+11^{n-2}\right)\right)⋮133\)

\(\Rightarrow11^{n+1}+12^{2n-1}⋮133\)(đpcm)