Question

Cho n đường thẳng nằm trong cùng một mặt phẳng và ở vị trí tổng quát ( tức là ko có hai đường thẳng nào song song và đồng quy ).

CMR: n đường thẳng này chia mặt phẳng thành \(\frac{n^2+n+2}{2}\)miền.

Answer 1

Gọi a_n là số miền do n đường thẳng thỏa bài toán sinh ra.

Xét nn đường thẳng d₁,d₂,.....,d_n cắt nhau tạo thành a_n miền, đường thẳng d_n+1 cắt tất cả các đường thẳng trên và bị n đường thẳng trên chia thành n+1 phần với mỗi miền đó sẽ tại ra một miền cũ và một miền mới.

Ta có a_n+1=a_n+n+1

Giải phương trình sai phân này ta được \(a_n=\frac{n^2+n+2}{2}\)tức là \(\frac{n^2+n+2}{2}\)miền.

Answer 2

Gọi \(a_n\) là số miền do \(n\) đường thẳng ( giả thiết ) chia ra .

Xét \(n\) đường thẳng \(d_1;\) \(d_2;...\)\(;d_{n-1};\)\(d_n\)cắt nhau tạo thành \(a_n\) miền, đường thẳng \(d_{n+1}\) đi qua các đường thẳng trên và bị \(n\) đường thẳng nó đi qua chia thành \(n+1\) phần với mỗi miền đó sẽ tại ra một miền cũ và một miền mới.

Ta có :

\(a_{n+1}=a_n+\left(n+1\right)\)

Giải phương trình sai phân này ta được \(a_n=\frac{n^2+n+2}{2}\)tức \(\frac{n^2+n+2}{2}\)miền.