Question

Cho một điểm A ở ngoài đường tròn (O). Kẻ hai cát tuyến AMN và APQ tới đường tròn sao cho MN > PQ. Dựng đường tròn (O ; OA). Kẻ hai dây AD và AF của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại B và C. Cát tuyến AMN và cát tuyến APQ cắt đường tròn lớn ở E và H.

a) Chứng minh AD = AF;

b) Chứng minh AE > AH;

c) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng nằm trên một đường tròn;

d) So sánh $\widehat{OAE}$ và $\widehat{OAH}$.

Answer 1

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) $OI<OK\Rightarrow \frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}$

$\Rightarrow \sin \widehat{OAI}<\sin \widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}.$

Answer 2

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) OI < OK\Rightarrow\frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}OI<OK⇒OAOI​<OAOK​

\Rightarrow \sin{\widehat{OAI}}< \sin{\widehat{OAK}} \Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK} \Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}.⇒sinOAI<sinOAK ⇒OAI<OAK⇒OAE<OAH.

Answer 3

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) $OI<OK\Rightarrow \frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}$

$\Rightarrow \sin \widehat{OAI}<\sin \widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OA}$

 

 

Answer 4

a, ta thấy: AD VÀ AF CÁCH ĐỀU TÂM O

 NÊN⇒AD=AF

Answer 5

a) ta có: AD và AF cách đều tâm O                                                                                                                        ⇒ AD = AF                                                                   

Answer 6

AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau

kẻ OI vuông góc MN Ok vuông góc PQ
trong đương tròn nhỏ ,ta có MN>PQ ⇒ OI<OK
trong đường tròn lớn OI<OK ⇒AE >AH  

vì A,B,O,C  cách đều trung điểm  AO nên A,B,C,O thuộc 1 đường tròn

 

Answer 7

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) $OI<OK\Rightarrow \frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}$

$\Rightarrow \sin \widehat{OAI}<\sin \widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK}\Rightarrow \widehat{OAE}<\stackrel{}{}$

Answer 8

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) OI < OK\Rightarrow\frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}OI<OK⇒OAOI​<OAOK​

\Rightarrow \sin{\widehat{OAI}}< \sin{\widehat{OAK}} \Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK} \Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}.⇒sinOAI<sinOAK ⇒OAI<OAK⇒OAE<OAH.

Answer 9

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO

Answer 10

a) AD và AF cách đều tâm O nên chúng bằng nhau.

b) Kẻ OI $\perp$ MN, OK $\perp$ PQ.

Trong đường tròn nhỏ, ta có: MN > PQ $\Rightarrow$ OI < OK.

(Dây lớn hơn thì gần tâm hơn)

Trong đường tròn lớn, OI < OK $\Rightarrow$ AE > AH.

(Dây gần tâm hơn thì lớn hơn)

c) A, B, O, C cách đều trung điểm AO.

d) OI < OK\Rightarrow\frac{OI}{OA}<\frac{OK}{OA}OI<OK⇒OAOI​<OAOK​

\Rightarrow \sin{\widehat{OAI}}< \sin{\widehat{OAK}} \Rightarrow \widehat{OAI}<\widehat{OAK} \Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}.⇒sinOAI<sinOAK ⇒OAI<OAK⇒OAE<OAH.

Answer 11

Answer 12

a,

Đường tròn lớn có $OB\perp AD$, $OC\perp AF$

$\Rightarrow AB=BD;AC=FC$             

12AD;AC=12AF       

Đường tròn nhỏ có $AB$, $AC$ là các tiếp tuyến nên $AB=AC$

Nhân 2 vế với $2$, suy ra $AD=AF$

b,

Xét đường tròn nhỏ.

Có $MN>PQ$ nên khoảng cách từ O đến $MN$ nhỏ hơn từ O đến $PQ$

$\Rightarrow$ khoảng cách từ O đến $AE$ nhỏ hơn khoảng cách từ O đến $AH$

$\Rightarrow AE>AH$

c,

Tứ giác $ABOC$ có 2 góc đối là góc vuông: $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={180}^o$

Suy ra tứ giác $ABOC$ nội tiếp. Vậy 4 điểm A B O C thuộc 1 đường tròn.

d,

Kí hiệu khoảng cách từ 1 điểm $M_o$ đến đường thẳng $d_o$ nào đó là $d(M_o;d_o)$

Ta có $d(O;AE)<d(O;AH)$ do $AE>AH$

Mà $d(O;AD)=d(O;AF)=OB=OC$

nên góc hợp bởi tia $AF$, $AD$ lớn hơn góc hợp bởi $AH$, $AF$

$\Rightarrow \widehat{DAE}>\widehat{FAH}$  (1)

Có $AB$, $AC$ tiếp tuyến đường tròn nhỏ nên $\widehat{OAB}=\widehat{OAC}$ (2)

(1)(2) $\Rightarrow \widehat{OAE}<\widehat{OAH}$