Ta có: \(n^5+1=\left(n+1\right)\left(n^4-n^3+n^2-n+1\right)\)
\(n^3+1=\left(n+1\right)\left(n^2-n+1\right)\)
\(n^5+1⋮n^3+1\)
\(\Leftrightarrow n^4-n^3+n^2-n+1⋮n^2-n+1\)
\(\Leftrightarrow n^2\left(n^2-n+1\right)-\left(n-1\right)⋮n^2-n+1\)
\(\Leftrightarrow n-1⋮n^2-n+1\)
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)⋮n^2-n+1\)
\(\Leftrightarrow n^2-n+1-1⋮n^2-n+1\)
\(\Leftrightarrow1⋮n^2-n+1\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)+1\inƯ\left(1\right)=\left\{1;-1\right\}\)
....
(Tính được giá trị của n rồi bạn nhớ thử lại nhé!!)
Vì \(n\inℤ\), \(\frac{n^5+1}{n^3+1}\inℤ\)\(\Leftrightarrow\frac{n\left(n^5+1\right)}{n^3+1}=\frac{n^6+n}{n^3+1}=\frac{\left(n^6-1\right)+\left(n+1\right)}{n^3+1}=\frac{\left(n^3-1\right)\left(n^3+1\right)+\left(n+1\right)}{n^3+1}\)
\(=\left(n^3-1\right)+\frac{n+1}{n^3+1}=\left(n^3-1\right)+\frac{1}{n^2-n+1}\)
Vì \(n\inℤ\)\(\Rightarrow n^3-1\inℤ\)\(\Rightarrow\)Để biểu thức đã cho có giá trị nguyên thì \(1⋮\left(n^2-n+1\right)\)
\(\Rightarrow n^2-n+1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
TH1: \(n^2-n+1=-1\)\(\Leftrightarrow n^2-n+2=0\)( loại )
TH2: \(n^2-n+1=1\)\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=1\end{cases}}\)( thoả mãn )
Vậy \(n\in\left\{0;1\right\}\)
hiện giờ mk chưa có kết quả đúng, khi nào có mk sẽ k cho bn làm đúng nha:)
