Cho mạch điện như hình vẽ.
Trong đó E = 6 V ; r = 1 Ω ; R 1 = R 3 = R 4 = R 5 = 1 Ω ; R 2 = 0 , 8 Ω ; R X là biến trở thay đổi được từ 0 đến 10 Ω. Ban đầu R X = 2 Ω
a) Tính số chỉ của vôn kế và công suất tiêu thụ của R X khi K mở và K đóng.
b) K đóng, cho R X thay đổi từ 0 đến 10 Ω, cho biết số chỉ vôn kế và công suất tiêu thụ của R X tăng hay giảm.
a) Vôn kế đo hiệu điện thế giữa hai đầu A và D
Khi K mở: không có dòng điện chạy qua R 3 , R 4 v à R 5 .
Mạch ngoài: R 1 n t R 2 n t R X
Điện trở mạch ngoài: R N = R 1 + R 2 + R X = 3 , 8 Ω .
Cường độ dòng điện mạch chính: I = E R X + r = 1 , 25 Ω
Số chỉ của vôn kế: U V = U A D = U A B = E - I r = 4 , 75 V .
Công suất tiêu thụ trên R X : P X m = I 2 . R X = 3 , 125 W .
Khi K đóng: mạch ngoài có: R 1 n t R 2 n t ( R X / / ( R 3 n t R 4 n T R 5 ) )
Điện trở mạch ngoài: R N = R 1 + R 2 + R X ( R 3 + R 4 + R 5 ) R X + R 3 + R 4 + R 5 = 3 Ω
Cường độ dòng điện mạch chính: I = E R N + r = 1 , 5 A .
Hiệu điện thế giữa C B : U C B = I . R C B = 1 , 5 . 1 , 2 = 1 , 8 V .
Cường độ dòng điện chạy qua R 5 : I 5 = U C B R 345 = 0 , 6 A .
Số chỉ của vôn kế: U V = U A D = U A B + U B D = E - I r - I 5 . R 5 = 3 , 9 V .
Cường độ qua R X : I X = I - I 5 = 0 , 9 A .
Công suất tiêu thụ trên R X : P x đ = I X 2 . R X = 1 , 62 W .
b) Khi K đóng: mạch ngoài có: R 1 n t R 2 n t ( R X / / ( R 3 n t R 4 n t R 5 ) )
Gọi R X là x khi K đóng:
Ta có: R C B = x ( R 3 + R 4 + R 5 ) x + R 3 + R 4 + R 5 = 3 x 3 + x
Điện trở mạch ngoài: R N = R 12 + R C B = 1 , 8 + 3 x 3 + x = 5 , 4 + 4 , 8 x 3 + x
Cường độ dòng điện mạch chính: I = E R N + r = 6 5 , 4 + 4 , 8 x 3 + x + 1 = 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 8 x
Hiệu điện thế hai đầu AC: U A C = I . R 12 = 1 , 8 . 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 4 x . 3 x 3 + x = 18 x 8 , 4 + 5 , 8 x (1)
Hiệu điện thế hai đầu CB: U C B = I . R C B = 6 ( 3 + x ) 8 , 4 + 5 , 4 x . 3 x 3 + x = 18 x 8 , 4 + 5 , 8 x (2)
Cường độ dòng điện qua R 345 l à I 345 = 18 x ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 3 = 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x
Hiệu điện thế hai đầu CD: U C D = I 345 . R 345 = 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x . 2 = 12 x 8 , 4 + 5 , 8 x (3)
Số chỉ của vôn kế bằng điện áp hai đầu AD: U A D = U A C + U C D
Từ (1) và (3) ta có: U A D = 32 , 4 x + 10 , 8 x 8 , 4 + 5 , 8 x + 6 x 8 , 4 + 5 , 8 x = 32 , 4 + 22 , 8 x 8 , 4 + 5 , 8 x
Đạo hàm U A D theo x ta được: U A D = 22 , 8 . 8 , 4 - 5 , 8 . 32 , 4 ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 2 = 3 , 6 ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 2
U A D > 0 với mọi x nên U A D luôn tăng khi x tăng, nên khi x thay đổi từ 0 đến 10 thì số chỉ vôn kế luôn tăng.
+ Công suất tiêu thụ trên R X :
P X = I X 2 . R X ; v ớ i I X = U C B R X = 18 x ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) x = 18 8 , 4 + 5 , 8 x
Vậy P X = 18 2 ( 8 , 4 + 5 , 8 x ) 2 x = 18 x 2 70 , 56 + 97 , 44 x + 33 , 64 x 2 . K h i x = 0 t h ì P X = 0 .
Khi x ≠ 0 ta có: P X = 18 2 97 , 44 + 70 , 56 x + 33 . 64 x . P X = 18 2 97 , 44 + 70 , 56 x + 33 , 64 x
Theo bất đẵng thức Côsi ta có: 70 , 56 x + 33 , 46 x m i n khi ð x = 1,45
Vậy P m a x k h i R X = 1 , 45 Ω .
