Trước tiên ta chứng minh công thức sau:
\(\cot\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A}\)
Xét ΔABC vuông tại A; CD là phân giác góc C
=> \(\cot ACD=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BD}\text{ (do t/c phân giác) }=\frac{AC+BC}{AD+BD}=\frac{AC+BC}{AB}\)
\(=\frac{1+\frac{AC}{BC}}{\frac{AB}{BC}}=\frac{1+\cos C}{\sin C}\text{ (đpcm).}\)
\(\Rightarrow\cot\frac{A}{2}=\frac{1+\cos A}{\sin A}\text{ (đối với góc A nhọn)}\)
*Áp dụng vào bài,
Ta có: M thuộc đường tròn đường kính AB => ΔMAB vuông tại M
\(\Rightarrow\cot\beta=\cot\frac{B}{2}=\frac{1+\cos B}{\sin B}=\frac{1+\frac{MB}{AB}}{\frac{MA}{AB}}=\frac{AB+y}{x}=\frac{2R+y}{x}\)
Tương tự: \(\cot\alpha=\frac{2R+x}{y}\)
\(\Rightarrow x\left(\cot\beta-1\right)+y\left(\cot\alpha-1\right)=x\left(\frac{2R+y}{x}-1\right)+y\left(\frac{2R+x}{y}-1\right)\)
\(=2R+y-x+2R+x-y=4R\)
