Question

Cho M, N, P là ba điểm chính giữa của ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP cắt nhau tại 1 điểm G, điểm G này nằm ở 1/3 của mỗi đoạn kể từ đáy.

vẽ hình đầy đủ nha

Answer 1

Ta có S GMB = S GMC(vì MB=MC,chung chiều cao hạ từ G) (1)

S GNC=S GNA(vì NA=NC,chung chiều cao hạ từ G) (2)

Lại có:S BCN=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ B và đáy CN=1/2 CA)

S ACM=1/2 S ABC (2 tam giác có chung chiều cao hạ từ A và đáy CM=1/2 CB)

=>S BCN=S ACM

Mà S ACM và S BCN cùng có chung S GCM+S GCN

=>S GMB=S GNA (3)

Từ (1),(2),(3) ta có:

S GMC=S GNC=S GNA hay S GMC=1/3(S GMC+S GNC+S GNA)

=>S GMC=1/3 S CMA,hay GM=1/3AM (2 tam giác CMA và CMG có chung chiều cao hạ từ C)

Do đó,BN cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy.

(Tương tự ta chứng minh được CP cũng cắt AM tại G ở 1/3 của AM kể từ đáy)

Vậy ba đoạn AM,BN,CP cắt nhau ở một điểm G nằm ở 1/3 của mỗi đoạn kể từ đáy.