Ta có:
\(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2n+1}\)\(=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n+1}}\)
\(< \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}\)\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta có:
\(M< \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)\)\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2015}}\right)\)
cách làm thì ko biết, nhưng kq thì CÓ LẼ là : M < 0,5
do M= 0,4783935314... < 0,5
