Question

Cho M = 1 + 3 + \(3^2\)+ \(3^3\)+ .....+ \(3^{119}\)

Và N = \(\frac{1}{2^2}\)+ \(\frac{1}{3^2}\)+ .....+ \(\frac{1}{2010^2}\)

Chứng tỏ rằng : 

a. M chia hết cho 13

b. N < 1  

 

 

Giúp mình nhé . Ai nhanh , đầy đủ mình tick cho :)) 

Answer 1

a) ta có: \(M=1+3+3^2+3^3+...+3^{119}\)

             \(M=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)

             \(M=\left(1+3+3^2\right)+3^3.\left(1+3+3^2\right)+...+3^{117}.\left(1+3+3^2\right)\)

             \(M=\left(1+3+3^2\right).\left(1+3^3+...+3^{117}\right)\)

            \(M=13.\left(1+3^3+...+3^{117}\right)⋮13\left(đpcm\right)\)

b) ta có: \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2};\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3};...;\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{2009.2010}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

                                                            \(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

                                                             \(=1-\frac{1}{2010}< 1\)

\(\Rightarrow N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{2010^2}< 1\left(đpcm\right)\)

Answer 2

a, \(M=\left(1+3+3^2\right)+\left(3^3+3^4+3^5\right)+...+\left(3^{117}+3^{118}+3^{119}\right)\)

\(=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{117}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=\left(1+3+3^2\right)\left(1+3^3+3^6+...+3^{117}\right)\)

\(=13.\left(1+3^3+...+3^{117}\right)⋮13\)

b, \(N=\frac{1}{2.2}+\frac{1}{3.3}+...+\frac{1}{2010.2010}\)

\(< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{2009.2010}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2009}-\frac{1}{2010}\)

\(=1-\frac{1}{2010}=\frac{2009}{2010}< 1\)

\(\Rightarrow N< 1\)

Answer 3

Giải: a) M=1+3+3^2+...+3^119 M=(1+3+3^2)+...(3^117+3^118+3^119) M=(1+3+3^2)+3^3*(1+3+3^2)+...+3^117*(1+3+3^2) M=13+3^3*13+3^117*13 Vì M là tổng các số hạng có tích chia hết cho 13 =>M chia hết cho 13 b) N=1/2^2 +1/3^2+...+1/2010^2 =>1/1*2+1/2*3+...+1/2009*2010>N 1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/2009-1/2010>N 1/1-1/2010>N 2009/2010>N => N<1