Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 2 đường thẳng vuông góc với nhau lần lượt cắt BC tại P và R, cắt CD tại Q và S
a) CM: ΔAQR, ΔAPS cân
b) QR cắt PS tại H. Biết M và N là trung điểm của QR và PS. CM tứ giác AMHN là hình chữ nhật
c) CM: P là trực tâm ΔSQR
đ) CM: MN là đường trung trực của AC
e) CM: 4 điểm M, Đ, N, B thẳng hàng
a) Xét \(\Delta RAB\)và \(\Delta QAD\)có:
\(\widehat{RAB}=\widehat{QAD}\) (cùng phụ với góc BAQ)
\(AB=AD\) (gt)
\(\widehat{RBA}=\widehat{QDA}=90^0\)
suy ra: \(\Delta RAB=\Delta QAD\) (g.c.g)
\(\Rightarrow\) \(AR=AQ\)
\(\Rightarrow\) \(\Delta AQR\)vuông cân tại A
chứng minh tương tự được: \(\Delta APS\)vuông cân tại A
b) \(\Delta AQR\)cân tại A, AM là trung tuyến => AM đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\)\(\widehat{AMH}=90^0\) (1)
\(\Delta ASP\)cân tại A, AN là trung tuyến => AN đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow\)\(\widehat{ANH}=90^0\) (2)
\(\Delta RSP\) có \(PA\perp RS;\) \(SC\perp RP;\) \(PA\Omega SC=Q\)
\(\Rightarrow\)\(Q\)là trực tâm \(\Delta RSP\)
\(\Rightarrow\)\(RQ\perp PS\)
hay \(RH\perp PS\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{RHS}=90^0\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(AMHN\)là hình chữ nhật
c) RC là đường cao \(\Delta SQR\)
SH là đường cao \(\Delta SQR\)
mà \(RC\Omega SH=P\)
\(\Rightarrow\)P là trực tâm \(\Delta SQR\)
d) \(\Delta ARQ\) vuông tại A có AM là trung tuyến
\(\Rightarrow\)\(AM=\frac{1}{2}RQ\)
\(\Delta RCQ\) vuông tại C có CM là trung tuyến
\(\Rightarrow\)\(CM=\frac{1}{2}RQ\)
suy ra: \(AM=CM\)
\(\Rightarrow\)\(M\)thuộc trung trực AC
chứng minh tương tự đc: N thuộc trung trực AC
suy ra: MN là trung trực AC
e) Ta có: MN là trung trực AC
BD là trung trực AC (do ABCD là hình vuông)
=> M, B, N, D thẳng hàng
p/s: hình tự vẽ
