a) ABCD là hình vuông nên \(\widehat{ABD}=45^0\)
△BME vuông tại E có: \(\widehat{MBE}=45^0\).
\(\Rightarrow\)△BME vuông cân tại E \(\Rightarrow ME=BE\).
Tứ giác AEMF có: \(\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{AFM}=90^0\)
\(\Rightarrow\)AEMF là hình chữ nhật nên \(AF=ME\)
\(\Rightarrow AF=BE\)
b) △ABF vuông tại A và △BCE vuông tại B có:
\(AB=BC;AF=BE\).
\(\Rightarrow\Delta ABF=\Delta BCE\) (ch-cgv).
\(\Rightarrow BF=CE;\widehat{ABF}=\widehat{BCE}\).
Mà \(\widehat{BCE}+\widehat{BEC}=90^0\) nên \(\widehat{ABF}+\widehat{BEC}=90^0\)
\(\Rightarrow BF\perp CE\).
c) Có:\(AF=BE;AD=AB\)
\(\Rightarrow AD-AF=AB-BE\Rightarrow DF=AE\).
△ADE vuông tại A và △DCF vuông tại D có:
\(AD=DC;AE=DF\).
\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta DCF\) (ch-cgv).
\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{DCF}\),
Mà \(\widehat{DCF}+\widehat{DFC}=90^0\Rightarrow\widehat{ADE}+\widehat{DFC}=90^0\)
\(\Rightarrow DE\perp CF\)
△CEF có: Hai đường cao FB, ED cắt nhau tại I.
\(\Rightarrow\)I là trực tâm của △CEF.
\(\Rightarrow CI\perp EF\).
d) Gọi tâm của hình chữ nhật AEMF, tâm của hình vuông ABCD lần lượt là I,O.
\(\Rightarrow\)O là trung điểm AC, BD ; I là trung điểm AM, EF ; \(AC\perp BD\) tại O.
△ODF và △OAE có: \(OD=OA;\widehat{ODF}=\widehat{OAE}=45^0;DF=AE\)
\(\Rightarrow\Delta ODF=\Delta OAE\) (c-g-c).
\(\Rightarrow OF=OE\) nên △OEF cân tại O.
Mà OI là trung tuyến nên OI cũng là đường cao.
\(\Rightarrow OI\perp EF\) tại I.
△ACM có: I là trung điểm AM, O là trung điểm AC.
\(\Rightarrow\)OI là đường trung bình của △AMC.
\(\Rightarrow\)OI//CM \(\Rightarrow CM\perp EF\).
Mà \(CI\perp EF\) nên C,M,I thẳng hàng.
