Thử vẽ Sketchpad cũng đẹp ấy chứ:))
Gọi I là giao điểm của KB và HD;J là giao điểm của CK và HD;O là giao điểm của CM và KH.
Hình vuông ABCD có \(BD\) là đường chéo nên \(\widehat{KDM}=45^0\)
Xét tam giác KDM có \(\widehat{DKM}=90^0;\widehat{KDM}=45^0\Rightarrow\Delta KDM\) vuông cân tại K.Suy ra KD=KM ( 1 )
Tứ giác AHMK có \(\widehat{KAH}=\widehat{AHM}=\widehat{MKA}=90^0\) nên tứ giác AHMK là hình chữ nhật => AH=MK ( 2 )
Từ ( 1 );( 2 ) suy ra AH=DK.
Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta KDC\) có:KD=AH;DC=AD;\(\widehat{DAH}=\widehat{KDC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta AHD=\Delta DCK\left(2cgv\right)\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{DCJ}\)
Ta có:\(\widehat{ADJ}+\widehat{JDC}=90^0\Rightarrow\widehat{JDC}+\widehat{DCJ}=90^0\Rightarrow\widehat{DJC}=90^0\left(3\right)\)
Lại có:\(AD=AB\Rightarrow AK+KD=AH+HB\Rightarrow AK=HB\left(AH=KD\right)\)
Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta BCH\) có:\(AB=BC;HB=AK;\widehat{KAB}=\widehat{HBC}=90^0\Rightarrow\Delta ABK=\Delta BCH\left(2cgv\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{HCB}\)
Mà \(\widehat{ABK}+\widehat{KBC}=90^0\Rightarrow\widehat{KBC}+\widehat{HCB}=90^0\Rightarrow CH\perp BK\left(4\right)\)
Từ ( 3 );( 4 ) suy ra I là trực tâm tam giác HKC.
Ta sẽ chứng minh CM đi qua I.Thật vậy !
Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta CMQ\) có:\(AK=MQ;AH=CQ\left(=DK\right);\widehat{KAH}=\widehat{MQC}=90^0\)
\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta QCM\left(2cgv\right)\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{QCM}\) mà \(AH\perp QC\Rightarrow KH\perp CM\)( ai đó cm cái này với !! )
=> CM đi qua I hay \(CM\perp HK\)
