Câu hỏi của Công An Phường

Question

. Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME vuông AB, MF vuông AD .a) Chứng minh DE=CF .b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF, CM đồng quy.

An Thy · Accepted Answer

Xét $\Delta DFM$ vuông tại F có $\angle FDM=45\Rightarrow\Delta DFM$ vuông cân tại F$\Rightarrow DF=FM$Vì $\angle MFA=\angle MEA=\angle EAF=90\Rightarrow AEMF$ là hình chữ nhật$\Rightarrow AE=FM=DF$Xét $\Delta DCF$ và $\Delta ADE:$ Ta có: $\left\{{}\begin{matrix}AD=CD\DF=AE\\angle DAE=\angle CDF=90\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\Delta DCF=\Delta ADE\left(c-g-c\right)\Rightarrow DE=CF$b) $\Delta DCF=\Delta ADE\Rightarrow\angle DCF=\angle ADE$$\Rightarrow\angle DCF+\angle DFC=\angle ADE+\angle DFC\Rightarrow\angle ADE+\angle DFC=90$$\Rightarrow DE\bot FC$Tương tự chứng minh được: $BF\bot CE$Gọi giao điểm của DE,BF là H $\Rightarrow H$ là trực tâm tam giác CEF$\Rightarrow CH\bot EF\left(1\right)$FM cắt CB tại G,CM cắt AD tại IDễ dàng chứng minh được DCFG là hình chữ nhật$\Rightarrow CG=DF=AE$Ta có: $MG=FG-FM=CD-FD==AD-FD=AF$Xét $\Delta CMG$ và $\Delta EFA:$ Ta có: $\left\{{}\begin{matrix}MG=AF\AE=CG\\angle CGM=\angle EAF=90\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\Delta CMG=\Delta EFA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AFE=\angle CMG=\angle FMI$$\Rightarrow\angle AFE+\angle FIM=\angle FMI+\angle FIM\Rightarrow\angle AFE+\angle FIM=90$$\Rightarrow CM\bot EF\left(2\right)$Từ (1) và (2) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ đpcmCâu trả lời: Xét $\Delta DFM$ vuông tại F có $\angle FDM=45\Rightarrow\Delta DFM$ vuông cân tại F$\Rightarrow DF=FM$Vì $\angle MFA=\angle MEA=\angle EAF=90\Rightarrow AEMF$ là hình chữ nhật$\Rightarrow AE=FM=DF$Xét $\Delta DCF$ và $\Delta ADE:$ Ta có: $\left\{{}\begin{matrix}AD=CD\DF=AE\\angle DAE=\angle CDF=90\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\Delta DCF=\Delta ADE\left(c-g-c\right)\Rightarrow DE=CF$b) $\Delta DCF=\Delta ADE\Rightarrow\angle DCF=\angle ADE$$\Rightarrow\angle DCF+\angle DFC=\angle ADE+\angle DFC\Rightarrow\angle ADE+\angle DFC=90$$\Rightarrow DE\bot FC$Tương tự chứng minh được: $BF\bot CE$Gọi giao điểm của DE,BF là H $\Rightarrow H$ là trực tâm tam giác CEF$\Rightarrow CH\bot EF\left(1\right)$FM cắt CB tại G,CM cắt AD tại IDễ dàng chứng minh được DCFG là hình chữ nhật$\Rightarrow CG=DF=AE$Ta có: $MG=FG-FM=CD-FD==AD-FD=AF$Xét $\Delta CMG$ và $\Delta EFA:$ Ta có: $\left\{{}\begin{matrix}MG=AF\AE=CG\\angle CGM=\angle EAF=90\end{matrix}\right.$$\Rightarrow\Delta CMG=\Delta EFA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AFE=\angle CMG=\angle FMI$$\Rightarrow\angle AFE+\angle FIM=\angle FMI+\angle FIM\Rightarrow\angle AFE+\angle FIM=90$$\Rightarrow CM\bot EF\left(2\right)$Từ (1) và (2) $\Rightarrow C,H,M$ thẳng hàng $\Rightarrow$ đpcm

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)