Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'). Một mặt phẳng song song với trục và cách trục của hình trụ một khoảng bằng \(\dfrac{10a}{3}\), cắt hình trụ theo thiết diện một hình vuông ABCD, A \(\in\) (O'). Biết góc giữa OA và mặt phẳng (ABCD) bằng \(30^o\). Tính thể tích khối trụ đã cho bằng
Hạ \(OH\perp AB\) tại H. Theo đề bài, ta thấy ngay \(\widehat{OAH}=30^o\). Lại có \(OA=\dfrac{OH}{\sin OAH}=\dfrac{\dfrac{10a}{3}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{20a}{3}\)
Mặt khác, \(AH=OA.\cos OAH=\dfrac{20a}{3}.\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}\). Từ đó suy ra \(AB=2AH=2.\dfrac{10a\sqrt{3}}{3}=\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\)
Do ABCD là hình vuông nên \(AB=BC=\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\)
Vậy thể tích hình trụ đã cho là \(V_{trụ}=\pi.OA^2.BC=\pi.\left(\dfrac{20a}{3}\right)^2.\dfrac{20a\sqrt{3}}{3}\) \(=\dfrac{8000\sqrt{3}}{27}.\pi.a^3\) (đvdt)
