Question

Cho hình thoi ABCD tâm O, trên tia đối của các tia BA, CB, DC, AD lần lượt lấy các điểm E, F, G, H sao cho BE = CF = DG = AH.

a) Cm: EFGH là hình bình hàh

b) CM: O là tâm đối xứng của hbh EFGH 

c) Hthoi ABCD có đk j để EFGH là hthoi.

Answer 1

Tự vẽ hình 

a) Ta có: AB = CD  (cạnh hình thoi)

BE = DG (g.t)

=> AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)

Xét tam giác AHE  và tam giác CFG ta có:

AE=CG

HAE  = FCG (cùng bù vs BAD = DCB)

AH=CF (gt)

Do đó tam giác AHE = tam giác CFG (c.g.c) => HE = FG 

Do đó EFGH là cạnh bình hành (đpcm)

b) Nối E vs G 

Xét tam giác OBE và tam giác ODG ta có:

BE= DG (gt)

OBE = ODG (so le trong)

OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)

=> tam giác OBE = tam giác ODG (c.g.c) => OBE = ODG 

Mà DOG + GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.

Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.

c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ HE = EF

\(\Leftrightarrow\Delta HAE=\Delta EBF\left(c.c.c\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EBF}=\widehat{EDA}\left(đv\right)\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EAD}\) mà \(\widehat{HAE}+\widehat{EAD=180^O\left(kb\right)}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{HAE}=\widehat{EAD}=90^O\)

⇔ Hình thoi ABCD có 1 góc vuông

⇔ ABCD là hình vuông.

Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.

Answer 2

a) Ta có AB = CD (cạnh hình thoi)

BE = DG (gt)

⇒ AB + BE = CD + DG hay AE = CG (cmt)

Xét ΔAHE và ΔCFG có:

AE = CG

∠HAE = ∠FCG (cùng bù với ∠BAD = ∠DCB ),

AH = CF (gt)

Do đó ΔAHE = ΔCFG (c.g.c) ⇒ HE = FG

Chứng minh tương tự ta có HG = EF

Do đó tứ giác EFGH là hình bình hành (các cạnh đối bằng nhau).

b) Nối E và G.

Xét ΔOBE và ΔODG có

BE = DG (gt),

∠OBE = ∠ODG (so le trong),

OB = OD ( tính chất đường chéo của hình thoi ABCD)

⇒ ΔOBE = ΔODG (c.g.c) ⇒ ∠OBE = ∠ODG

Mà ∠DOG + ∠GOB = 180o ⇒ ba điểm G, O, E thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có H, O, F thẳng hàng.

Vậy O là tâm đối xứng của hình bình hành EFGH.

c) Hình bình hành EFGH là hình thoi ⇔ HE = EF

⇔ Hình thoi ABCD có 1 góc vuông

⇔ ABCD là hình vuông.

Vậy hình thoi ABCD phải là hình vuông thì hình bình hành EFGH trở thành hình thoi.