Question

Cho hình thoi ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và CD.  AN cắt DM tại K,  BN cắt CM tại L.

a) CMR: tứ giác AMND là hình bình hành

b) CMR: L là trung điểm của CM và NB

c) CM: 4 đường thẳng AC, BD, MN , KL đồng quy

 

Giúp mik gấp nha!!! Cảm ơn các bạn nhiều!!!

Answer 1

Tự vẽ hình nha

a) Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm CD

=> MN là đường trung bình

=> MN // AD // BC

 và MN = ( AD + BC ) : 2 = AD = BC ( vì ABCD là hình thoi nên AD = BC )

Xét tứ giác AMND có MN // AD và MN = AD

=> AMND là hình bình hành ( đpcm )

b) Vì MN // BC và MN = BC

=> BMNC là hình bình hành

=> hai đường chéo BN và CM cắt nhau tại L là trung điểm mỗi đường ( đpcm )

 c) Xét tam giác DAM và tam giác BCN có

  AD = BC 

góc DAM = góc BCN ( trong hình thoi và hình bình hành, hai góc đối bằng nhau )

AM = CN = ( AB/2 = DC/2 do AB = DC )

=> tam giác DMA = tam giác BNC ( c-g-c )

=> góc AMD = góc BNC ( c g t ư )

Có AB // DC 

=> góc AMD = góc MDN ( cặp góc so le trong )

mà góc AMD = góc BNC 

=> góc BNC = góc MDN 

mà hai góc này đồng vị

=> MD // BN

mà MB // DN ( AB // CD )

=> MBND là hình bình hành 

=> BD cắt MN tại trung điểm O của MN

Chứng minh tương tự với hình AMCN 

=> AC cắt MN tại trung điểm O của MN

Vì M là trung điểm AB, L là trung điểm BN

=> ML là đường trung bình trong tam giác BAN

=> ML // AN

và ML = 1/2 AN = AK ( AMND là hình bình hành, K là giao hai đường chéo nên K là trung điểm AN )

Xét tứ giác MLNK có ML // KN, ML = KN

=> MLKN là hình bình hành 

=> MN giao KL tại trung điểm O của MN

Vì bốn đường thẳng AC, BD, MN , KL cùng đi qua O

=> chúng đồng quy ( đpcm )