Question

Cho hình thoi ABCD có A = 60°. Đường thẳng MN cắt AB ở M, cắt BC ở N. Biết BM + NB có độ dài bằng 1 cạnh của hình thoi. Chứng minh rằng tam giác MND đều

Answer 1

Dễ thấy △ABD và △CBD đều.

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}BM+BN=AB\\BM+AM=AB\end{matrix}\right.\Rightarrow BN=AM\)

△AMD và △BND có: \(\widehat{NBD}=\widehat{MAD}=60^0\) ; \(AM=BN\) ; \(AD=BD\)

\(\Rightarrow\Delta AMD=\Delta BND\), nên \(\left\{{}\begin{matrix}MD=ND\\\widehat{ADM}=\widehat{BDN}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\widehat{BDN}+\widehat{BDM}=\widehat{ADM}+\widehat{BDM}=\widehat{ADB}=60^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MDN}=60^0\), mà tam giác MDN cân tại D (MD=ND), nên tam giác MDN đều.