Question

Cho hình thang cân ABCD (AB||CD, AB<CD) có 2 đường chéo AC, BD cắt nhau tại O sao cho góc AOB= 60°. Gọi H,I,K lần lượt là trung điểm của OA, OD,BC. CMR: tam giác HIK là tam giác đều

Answer 1

2 đường chéo AC; BD cắt nhau tại O. Do hình thang ABCD cân (AB//CD)

=> OA=OB; OC=OD (Tự chứng minh)

Mà ^AOB=60⁰ => ^COD=60⁰ (Đối đỉnh) => Tam giác AOB và tam giác COD đều.

Xét tam giác AOB đều: H là trung điểm OA => BH vuông góc OA 

=> Tam giác BHC vuông tại H; K là trung điểm của BC => HK=BK=CK=BC/2 (1)

Tương tự: Tam giác CIB vuông tại I, K là trung điểm BC => IK=CK=BK=BC/2 (2)

Xét tam giác AOD: H là trung điểm OA; I là trung điểm OD => IH là đường trung bình tam giác AOD.

=> IH=AD/2. Mà hình thang ABCD cân (AB//CD) => AD=BC => IH=BC/2 (3)

Từ (1); (2) và (3) => HK=IK=IH => Tam giác HIK là tam giác đều (đpcm).