Gọi $S_{MNB}$ là diện tích tam giác $MNB$, $x$ là diện tích tam giác $MPN$.
Ta có $MB = CA$, suy ra $S_{MNB} = S_{MCA}$.
Gọi $h$ là độ cao của tam giác $MPN$ từ đỉnh $P$. Ta có:
$$\frac{AP}{AN} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{PN}{AN} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{h}{MA} = \frac{2}{3} \Rightarrow h = \frac{2}{3} MA$$
Do $MB = CA$, suy ra $S_{MNB} = S_{MCA} = \frac{1}{2} MB \cdot h = \frac{1}{2} CA \cdot h$.
Mà $MB + CA = MA$, suy ra $S_{MNB} + S_{MCA} = \frac{1}{2} MA \cdot h$.
Từ đó, ta có:
$$2S_{MNB} = \frac{1}{2} MA \cdot h - S_{MNB} = \frac{1}{2} S_{MPN}$$
$$\Rightarrow S_{MPN} = 4S_{MNB} = 4 \cdot 13 = 52 \text{ (cm}^2\text{)}$$
Vậy diện tích tam giác $MPN$ là 52 cm$^2$.