Question

Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các tia phân giác của các góc của hình chữ nhật đó cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Answer 1

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.

* Trong ∆ ADG , ta có:

∠ (GAD) = 45 0 ;  ∠ (GDA) =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ (AGD) =  180 0 -  ∠ (GAD) -  ∠ (GDA) =  90 0

⇒  ∆ GAD vuông cân tại G.

⇒ GD = GA

Trong  ∆ BHC, ta có:

∠ (HBC) =  45 0 ;  ∠ (HCB) =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ (BHC) =  180 0  -  ∠ (HBC) -  ∠ (HCB) = 90 0

⇒  ∆ HBC vuông cân tại H.

⇒ HB = HC

* Trong ΔFDC, ta có:  ∠ D 1  =  45 0 ; ∠ C 1 =  45 0  (gt)

Suy ra:  ∠ F =  180 0 - D1 - C1 =  90 0

⇒  ∆ FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FC

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Xét  ∆ GAD và  ∆ HBC,ta có:  ∠ (GAD) =  ∠ (HBC) =  45 0

AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

∠ (GDA) =  ∠ (HCB) =  45 0

Suy ra:  ∆ GAD =  ∆ HBC ( g.c.g)

Do đó, GD = HC .

Lại có: FD = FC (chứng minh trên)

Suy ra: FG = FH

Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.