Do \(A\in AC\Rightarrow A\left(a;\frac{13-7a}{4}\right)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=\left(a-1;\frac{-3-7a}{4}\right)\\\overrightarrow{NA}=\left(a+4;\frac{17-7a}{4}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{NA}=0\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a+4\right)+\left(\frac{-3-7a}{4}\right)\left(\frac{17-7a}{4}\right)=0\)
\(\Rightarrow65a^2-50a-115=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{23}{13}\\a=-1\end{matrix}\right.\)
TH1: \(a=-1\Rightarrow A\left(-1;5\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2;-1\right)\\\overrightarrow{NA}=\left(3;6\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Đường thẳng AB và AD lần lượt nhận \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{n_{AB}}=\left(1;2\right)\\\overrightarrow{n_{AD}}=\left(2;-1\right)\end{matrix}\right.\) là các vtpt
Phương trình AB: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow x+2y-9=0\)
Phương trình AD: \(2\left(x+1\right)-1\left(y-5\right)=0\Leftrightarrow2x-y+7=0\)
Do \(C\in AC\Rightarrow C\left(c;\frac{13-7c}{4}\right)\)
\(BC=d\left(C;AB\right)\) ; \(CD=d\left(C;AD\right)\) mà \(S_{ABCD}=BC.CD=30\)
\(\Rightarrow\frac{\left|c+\frac{26-14c}{4}-9\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}.\frac{\left|2c-\frac{13-7c}{4}+7\right|}{\sqrt{2^2+\left(-1\right)^2}}=30\Leftrightarrow\left(c+1\right)^2=4\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=1\\c=-3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}C\left(1;\frac{3}{2}\right)\\C\left(-3;\frac{17}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
Tiếp theo, gọi toạ độ \(\left\{{}\begin{matrix}B\left(9-2b;b\right)\\D\left(d;2d+7\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0\\\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{CD}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}C\left(...\right)\\D\left(...\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán ko cho điều kiện loại nghiệm nên quá dài, quá nhiều trường hợp, bạn tự giải quyết nốt, phần còn lại chỉ thuần là tính toán
